Question

Найти общее (если задано удовлетворяющее начальному условию) решение дифференциальных уравнений, с разделяющимися переменными. x²y²y'+1=y

Answer 1

---------------------

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, данного вида:

x²y²y' + 1 = y

можно использовать метод разделения переменных. Этот метод основан на том, что переменные y и x можно разделить в уравнении, чтобы получить уравнение, где все y-термы находятся на одной стороне, а все x-термы - на другой стороне.

Давайте приступим к решению:

1. Сначала перепишем уравнение в виде, удобном для разделения переменных:

x²y²y' = y - 1

2. Затем разделим переменные, переместив все y-термы на одну сторону, а все x-термы - на другую сторону:

y²dy/(y-1) = dx/x²

3. Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫ y²dy/(y-1) = ∫ dx/x²

4. Вычислим интегралы:

∫ y²dy/(y-1) = ∫ dx/x²

Для левой части уравнения, воспользуемся методом частных дробей:

∫ y²dy/(y-1) = ∫ (1 + 1/(y-1)) dy

∫ (1 + 1/(y-1)) dy = ∫ dx/x²

∫ dy + ∫ 1/(y-1) dy = ∫ dx/x²

y + ln|y-1| = -1/x + C

Где C - постоянная интегрирования.

Таким образом, мы получили общее решение исходного дифференциального уравнения:

y + ln|y-1| = -1/x + C

Это уравнение представляет собой семейство кривых, которые являются общим решением данного дифференциального уравнения. Здесь C - произвольная постоянная, которую можно определить, если задано начальное условие (например, значение y при заданном значении x).