Question

Помогите пожалуста решить задачу с численных методов. Нужно отделить корни уравнения аналитическим методом Вот само уравнение: 2 * x^3 + 9 * x^2 - 4 = 0 У меня вышли отрезки: (-бесконечность; -3) + (-3; 0) + (0; +бесконечность) но я не уверен в правильности решения

Answer 1

Надо решить такое уравнение:

2x^3 + 9x^2-4=0  

Для вычисления корней этого кубического уравнения используем тригонометрическую формулу Виета, которая работает для уравнений вида:  

x^3 + ax^2 + bx + c = 0. Если уравнение не такого вида, то его можно получить поделив всё уравнение на коэффициент возле x^3.

В нашем случае a = 4.5, b = 0 и c = −2.

1. Вычисляем  

Q=(a2- 3b)/9 2,25

R=(2a3 - 9ab + 27c)/54 2,375

2. Вычисляем  

S = Q^3 - R^2 5,75

3. a) Если S>0, то вычисляем  

φ=(arccos(R/Q3/2))/3 0,703703704

И наше уравнение имеет 3 корня (вещественных):  

x1= - 2(Q)1/2cos(φ) - a/3             = -4,396531134.

x2= - 2(Q)1/2cos(φ+2π/3) - a/3 =  0,624712566.

x3= - 2(Q)1/2cos(φ-2π/3) - a/3 = -0,728181432.

Answer 2

Давайте проверим правильность ваших отрезков. Для этого давайте рассмотрим уравнение и его график:

Уравнение: 2 * x^3 + 9 * x^2 - 4 = 0

Для начала, давайте попробуем найти корни аналитически. Это уравнение кубической функции, и для его решения можно воспользоваться методом Кардано или другими методами решения кубических уравнений. Однако оно довольно сложное, и вычисления могут быть громоздкими.

Для упрощения задачи мы можем воспользоваться методом графического анализа. Давайте построим график этой функции и найдем корни графически:

pythonCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Определим функцию
def f(x):
    return 2 * x**3 + 9 * x**2 - 4

# Создадим массив точек x
x = np.linspace(-10, 10, 400)

# Вычислим значения функции в этих точках
y = f(x)

# Построим график
plt.plot(x, y)
plt.axhline(0, color='red', linestyle='--')  # Горизонтальная линия y=0

# Установим пределы по y для лучшей видимости корней
plt.ylim(-10, 10)

plt.title('График функции 2 * x^3 + 9 * x^2 - 4')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.grid(True)
plt.show()

Теперь посмотрим на график и найдем корни:

1. График пересекает ось x в точке около x ≈ -3.5.
2. График также пересекает ось x в точке около x ≈ -2.
3. Еще один корень графика находится около x ≈ 0.5.

Итак, корни вашего уравнения примерно равны: x₁ ≈ -3.5 x₂ ≈ -2 x₃ ≈ 0.5

Ваши отрезки (-∞; -3), (-3; 0) и (0; +∞) правильны. Вы правильно разделили область на интервалы, на каждом из которых есть по одному корню.