Question

Знайдіть 21-й член геометричної прогресії (an) якщо а4=17,d=4​

Answer 1

а4=а1*d³

17=a1*4³

a1=17/64.

a21=a1*d²⁰=17/64*4²⁰=17*4¹⁷=292057776128

Answer 2

Для знаходження 21-го члена геометричної прогресії (an) за відомими значеннями a4 і d (початкового члена і знаменника) можна скористатися формулою для n-го члена геометричної прогресії:

an = a1 * r^(n-1),

де an - n-й член прогресії, a1 - перший член прогресії (a4 у нашому випадку), r - знаменник прогресії.

У нашому випадку: a4 = 17, де a1 = a4, d = 4, де d - знаменник прогресії.

Знайдемо r, використовуючи формулу для знаменника геометричної прогресії:

r = a2 / a1 = a4 / a3,

де a2 - другий член прогресії і a3 - третій член прогресії.

a3 = a2 + d = a1 * r + d,

Отже,

r = a4 / (a1 * r + d).

Підставимо відомі значення:

r = 17 / (17 * r + 4).

Розв'яжемо це рівняння для r:

17r = 17 * r^2 + 4r,

17r - 17 * r^2 - 4r = 0.

Розкриємо дужки і приведемо підобащені члени:

17r^2 - 17r - 4r = 0,

17r^2 - 21r = 0.

Розділимо обидві сторони на 1 (оскільки 1 ≠ 0):

17r^2 - 21r = 0.

Тепер ми можемо застосувати квадратне рівняння для знаходження r:

Для квадратного рівняння ax^2 + bx + c = 0, де a ≠ 0, маємо:

r = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a).

У нашому випадку a = 17, b = -21, і c = 0:

r = (-(-21) ± √((-21)^2 - 4 * 17 * 0)) / (2 * 17), r = (21 ± √(441)) / 34, r = (21 ± 21) / 34.

Отже, маємо два можливих значення для r:

1. r1 = (21 + 21) / 34 = 42 / 34 = 21 / 17,
2. r2 = (21 - 21) / 34 = 0 / 34 = 0.

Тепер, коли ми знайшли значення r, ми можемо знайти 21-й член геометричної прогресії:

an = a1 * r^(n-1),

для r1:

a21 = a4 * (21/17)^(21-1),

для r2:

a21 = a4 * (0)^(21-1).

Зауважте, що для r2 отримали 0, і всі інші члени будуть 0, оскільки будь-яке число, піднесене до ступеня 0, дорівнює 1, а потім множити на 0 дає 0.

Отже, для r1:

a21 = 17 * (21/17)^20.

Підрахуємо це:

a21 ≈ 17 * 1048576 ≈ 17821492.

Отже, 21-й член геометричної прогресії при r1 близько дорівнює 17821492.