Question

Найдите наименьшее натуральное число, которое даёт остаток 6 при делении на 7, остаток 10 при делении на 11 и остаток 12 при делении на 13.

Answer 1

Ответ:

1000

Пошаговое объяснение:

Если к искомому числу добавить 1, то (судя по остаткам) оно будет нацело делиться на 7, 11, 13.

Найдём НОК(7,11,13)=7*11*13=1001

1001-1=1000 искомое число

Answer 2

Чтобы найти наименьшее натуральное число, которое даёт остаток 6 при делении на 7, остаток 10 при делении на 11 и остаток 12 при делении на 13, мы можем воспользоваться китайской теорем остатков.

Давайте обозначим это число как x. Мы можем записать систему линейных сравнений следующим образом:

x ≡ 6 (mod 7) x ≡ 10 (mod 11) x ≡ 12 (mod 13)

Теперь мы можем использовать китайскую теорему об остатках для нахождения значения x. Сначала найдем произведение модулей 7, 11 и 13:

N = 7 * 11 * 13 = 1001

Теперь найдем частное от деления N на каждый из модулей:

n1 = N / 7 = 1001 / 7 = 143 n2 = N / 11 = 1001 / 11 ≈ 91 n3 = N / 13 = 1001 / 13 ≈ 77

Теперь найдем обратные элементы для каждого модуля. Обратный элемент для модуля 7 равен 1, для модуля 11 равен 10, а для модуля 13 равен 2.

Теперь, используя эти значения, мы можем найти значения y1, y2 и y3:

y1 = 143 * 1 = 143 y2 = 91 * 10 = 910 y3 = 77 * 2 = 154

Теперь мы можем найти сумму y1, y2 и y3 и найти остаток от деления этой суммы на N:

x = (6 * 143 + 10 * 910 + 12 * 154) % 1001

x = (858 + 9100 + 1848) % 1001

x = 11806 % 1001

x = 795

Итак, наименьшее натуральное число, которое удовлетворяет данным условиям, равно 795.