Question

Знайти найбільше і найменше значення функції у=х⁴-2х²+3 на відрізку [-3,2].

Answer 1

$y'=(x^4-2x^2+3)' =4x^3-2\cdot 2x+0=4x^3-4x=4x\cdot (x^2-1) \\ \\ 4x\cdot (x^2-1)=0 \\ \\ x_1=0; \ \ \ \ \ x_{2,3}=\pm 1$

$y(-1)=(-1)^4-2\cdot (-1)^2+3=1-2+3=2 \\ \\ y(0)=3\\ \\ y(1)=1^4-2\cdot 1^2+3=1-2+3=2 \\ \\ y(2)=2^4-2\cdot 2^2+3=16-8+3=11$

$y(-3)=(-3)^4-2\cdot (-3)^2 +3=81-18+3=66$

$\max\limits_{[-3;2]}y =y(-3)=66 \\ \\ \min\limits_{[-3;2]}y =y(-1)=y(1)=2$

Локальный максимум:

$\max\limits_{[-3;2]}y=y(0)=3$

Answer 2

Для знаходження найбільшого і найменшого значення функції $y = x^4 - 2x^2 + 3$ на відрізку $[-3, 2]$, ми можемо спершу знайти похідну цієї функції та знайти її критичні точки. Потім обчислимо значення функції в цих точках, а також на кінцях відрізку, і визначимо найбільше і найменше значення.

1. Знайдемо похідну функції $y$: $y' = 4x^3 - 4x$.

2. Знайдемо критичні точки, розв'язавши рівняння $y' = 0$: $4x^3 - 4x = 0$.

Факторизуємо це рівняння: $4x(x^2 - 1) = 0$.

Знаходимо корені: $4x = 0$ або $x^2 - 1 = 0$.

З цього отримуємо дві критичні точки: $x = 0$ і $x = \pm 1$.

3. Тепер обчислимо значення функції $y$ в цих точках, а також на кінцях відрізку $[-3, 2]$:

• $y(-3) = (-3)^4 - 2(-3)^2 + 3 = 81 - 18 + 3 = 66$.
• $y(2) = 2^4 - 2(2)^2 + 3 = 16 - 8 + 3 = 11$.
• $y(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 3 = 0 - 0 + 3 = 3$.
• $y(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$.
• $y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$.

Таким чином, найбільше значення функції $y$ на відрізку $[-3, 2]$ дорівнює 66, і воно досягається при $x = -3$, а найменше значення дорівнює 2 і досягається при $x = 1$ і $x = -1$.