Question

Обчислити площу фігури обмеженої лініями y=√x y=0,5x

Answer 1

$\sqrt{x}=0,5x \\ \\ \sqrt{x}=\frac{1}{2}x \ \ \ |^2 \\ \\ x=\frac{1}{4}x^2\\ \\ \frac{1}{4}x^2-x=0 \\ \\ x\cdot (\frac{1}{4}x-1)=0\\ \\ x_1=0; \ \ \ \ \frac{1}{4}x_2-1=0 \\ \\ . \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{4}x_2=1 \\ \\ . \ \ \ \ \ \ \ \ x_2=4$

$\int\limits^4_0 {(\sqrt{x}-0,5x)} \, dx =\int\limits^4_0 {(x^\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x)} \, dx =(\frac{x^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}\cdot \frac{x^2}{2})|^4_0=(\frac{2\sqrt{x^3} }{3}-\frac{x^2}{4})|^4_0= \\ \\ = (\frac{2\cdot \sqrt{4^3}}{3}-\frac{4^2}{4})-0=\frac{2\cdot \sqrt{64}}{3}-4=\frac{2\cdot 8}{3}-4=\frac{16}{3}-4=\frac{16-12}{3}=\frac{4}{3} \ cm^2$

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої лініями $y = \sqrt{x}$ і $y = 0.5x$, спочатку треба знайти точки їх перетину. Рівняння $y = \sqrt{x}$ і $y = 0.5x$ відповідно можна прирівняти одне до одного:

$$\sqrt{x} = 0.5x$$

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату:

$$x = 0.25x^2$$

Перенесемо всі члени рівняння на одну сторону:

$$0.25x^2 - x = 0$$

Помножимо обидві сторони на 4, щоб позбутися дробових чисел:

$$x^2 - 4x = 0$$

Розв'яжемо це квадратне рівняння, розкладаючи його на множники:

$$x(x - 4) = 0$$

Таким чином, маємо дві можливі значення x: $x = 0$ або $x = 4$. Коли $x = 0$, $y = \sqrt{0} = 0$. Коли $x = 4$, $y = \sqrt{4} = 2$.

Таким чином, точки перетину ліній - (0, 0) і (4, 2).

Площа фігури між цими лініями може бути знайдена як різниця між інтегралами функцій $y = \sqrt{x}$ та $y = 0.5x$ від 0 до 4:

$$\text{Площа} = \int_0^4 \sqrt{x} \, dx - \int_0^4 0.5x \, dx$$

Знайдемо ці інтеграли:

$$\text{Площа} = \left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^4 - \left[0.25x^2\right]_0^4$$

$$\text{Площа} = \left(\frac{2}{3}\cdot4^{3/2} - \frac{2}{3}\cdot0^{3/2}\right) - \left(0.25\cdot4^2 - 0.25\cdot0^2\right)$$

$$\text{Площа} = \left(\frac{2}{3}\cdot8 - 0\right) - \left(4 - 0\right) = \frac{16}{3} - 4 = \frac{4}{3}$$

Отже, площа фігури обмеженої лініями $y = \sqrt{x}$ і $y = 0.5x$ дорівнює $\frac{4}{3}$ квадратних одиниці.