Question

Обчисліть значення похідної функції y=sinx · cos2x в точці х0=п/6

Answer 1

Ищем производную функции:

$(sinx*cos2x)' = cosx*cos2x-2sinx*sin2x$

Подставляем значение x0 и считаем:

$cos\frac{\pi }{6} *cos\frac{2\pi }{6} -2sin\frac{\pi }{6} *sin\frac{2\pi }{6} =cos\frac{\pi }{6} *cos\frac{\pi }{3} -2sin\frac{\pi }{6} *sin\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3} }{2}*\frac{1}{2}-2*\frac{1}{2}*\frac{\sqrt{3} }{2} =\frac{\sqrt{3} }{4}-\frac{\sqrt{3} }{2}=-\frac{\sqrt{3} }{4}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3} }{4}$

Answer 2

Щоб знайти значення похідної функції y = sin(x) * cos^2(x) в точці x₀ = π/6, спершу знайдемо похідну цієї функції та після цього підставимо значення x₀.

Похідна добутку двох функцій визначається за допомогою правила добутку (Product Rule). Якщо ми маємо функцію u(x) = sin(x) і функцію v(x) = cos^2(x), то їх похідна буде:

u'(x) = cos(x) (похідна sin(x)) v'(x) = -2cos(x)sin(x) (похідна cos^2(x))

Тепер використаємо правило добутку:

y = u * v

y' = u'v + uv'

y' = (cos(x)) * (cos^2(x)) + (sin(x)) * (-2cos(x)sin(x))

Тепер підставимо значення x₀ = π/6 в отриману похідну:

y'(π/6) = (cos(π/6)) * (cos^2(π/6)) + (sin(π/6)) * (-2cos(π/6)sin(π/6))

cos(π/6) = √3/2 sin(π/6) = 1/2

Отже,

y'(π/6) = (√3/2) * ((√3/2)^2) + (1/2) * (-2(√3/2)(1/2))

y'(π/6) = (√3/2) * (3/4) - (√3/4) = (3√3/8) - (√3/4)

Тепер спрости це вираз:

y'(π/6) = [(3√3 - 4√3)/8] = (-√3/8)

Отже, значення похідної функції y = sin(x) * cos^2(x) в точці x₀ = π/6 дорівнює -√3/8.