Question

Доведіть нерівність х^2+9у^4+1>=-3ху^2-х+3у^

Answer 1

х^2+9у^4+1>=-3ху^2-х+3у^2

х^2+9у^4+2>=(1-х)(1+3у^2)

х^2+9у^4-6y^2+1+6y^2+1>=(1-х)(1+3у^2)

x^2+(3y^2-1)^2+6^2+2-1>=(1-х)(1+3у^2)

(x-1)(x+1)+(3y^2-1)^2>=-(1+х)(1+3у^2)

(3y^2-1)^2>=-((1+х)(1+3у^2)+(x-1)(x+1))

(3y^2-1)^2>=-((1+х)(3у^2-1+x+1))

Обозначим 3y^2-1=p  и    x+1=q

p^2>=-q*(p+q)

p^2+pq+q^2>=0

p^2+pq+(q^2)/4>=-(3/4)*q^2

(p+0,5q)^2>=-0,75q^2

что верно.

Извините, за длинное решение. Наверное, лучше было замену на p  и   q сделать сразу (или, по крайней мере, раньше).

Answer 2

Для того, щоб довести нерівність x^2 + 9y^4 + 1 ≥ -3xy^2 - x + 3y, давайте розглянемо різницю між лівою та правою частинами нерівності і спростимо її.

x^2 + 9y^4 + 1 - (-3xy^2 - x + 3y) ≥ 0

Тепер використовуємо арифметичні операції для спрощення:

x^2 + 9y^4 + 1 + 3xy^2 + x - 3y ≥ 0

Тепер об'єднуємо подібні терміни:

x^2 + x + 3xy^2 + 9y^4 - 3y + 1 ≥ 0

Тепер ми можемо розглянути кожен з окремих термінів та спростити їх:

x^2 + x ≥ 0 (1)

3xy^2 - 3y ≥ 0 3y(xy^2 - 1) ≥ 0

Зверніть увагу, що вираз (xy^2 - 1) має бути додатнім, щоб вираз був додатнім.

Тепер давайте зіберемо всі умови разом:

(1) x^2 + x ≥ 0 2) 3y(xy^2 - 1) ≥ 0

Окремо ми не можемо дати конкретних значень x та y, але ці умови вказують на те, які значення x та y задовольняють нерівність x^2 + 9y^4 + 1 ≥ -3xy^2 - x + 3y.