Question

вычислить объем тела образованного вращением фигуры ограниченной линиями вокруг оси ox. y=8+2x- , y=2x+4 , y=0, x=0

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

рисуеи графики, определяем фигуру, границы интегрирования

когда будем вертеть эту штуку вокруг оси ох, получим такую чашу с конусом внутри и выпуклыми боками.

$\displaystyle V=\pi \int\limits^2_{-2} {\bigg (-x^2+2x+8)^2} -(2x+4)^2\bigg )\, dx =$

$\displaystyle =\pi \int\limits^2_{-2} {(x^4-4x^3-16x^2-16x+48)} \, dx =$

$\displaystyle =\pi \bigg (\frac{x^5}{5} -x^4-16\frac{x^3}{3} +8x^2+48x\bigg ) \bigg |_{-2}^2=\frac{1792}{15} \pi$

Answer 2

Для вычисления объема тела, образованного вращением фигуры, ограниченной кривыми вокруг оси Ox, можно использовать метод цилиндрических оболочек. Сначала найдем точки пересечения кривых и определим интервал, в котором они ограничивают фигуру.

Кривые, ограничивающие фигуру:

1. y = 8 + 2x
2. y = 2x + 4
3. y = 0
4. x = 0

Для нахождения точек пересечения 1 и 2 решим уравнение:

8 + 2x = 2x + 4

2x - 2x = 4 - 8

0 = -4

Уравнение 0 = -4 не имеет решения, поэтому кривые 1 и 2 не пересекаются. Теперь найдем точки пересечения кривых 2 и 3:

2x + 4 = 0

2x = -4

x = -2

Теперь найдем точку пересечения кривых 1 и 3:

8 + 2x = 0

2x = -8

x = -4

Итак, интервал, в котором ограничивается фигура, это -4 <= x <= -2.

Теперь мы можем использовать метод цилиндрических оболочек, чтобы найти объем тела, образованного вращением фигуры вокруг оси Ox.

Объем цилиндрической оболочки вдоль Ox можно вычислить по следующей формуле:

V = ∫[a, b] π * [f(x)]^2 dx,

где a и b - пределы интегрирования (в данном случае -4 и -2), f(x) - расстояние от кривой до оси Ox.

Так как фигура вращается вокруг оси Ox, то f(x) равно y(x) для каждой из кривых.

Для первой кривой (y = 8 + 2x), f(x) = 8 + 2x, а для второй кривой (y = 2x + 4), f(x) = 2x + 4.

Теперь вычислим объем для каждой из кривых и сложим их:

V1 = ∫[-4, -2] π * (8 + 2x)^2 dx V2 = ∫[-4, -2] π * (2x + 4)^2 dx

Теперь вычислим эти интегралы:

V1 = π * ∫[-4, -2] (64 + 32x + 4x^2) dx V2 = π * ∫[-4, -2] (4x^2 + 16x + 16) dx

Вычислим интегралы:

V1 = π * [64x + 16x^2 + (4/3)x^3] |[-4, -2] V2 = π * [4/3 x^3 + 8x^2 + 16x] |[-4, -2]

Теперь подставим верхние и нижние пределы интегрирования и вычислим:

V1 = π * [64(-2) + 16(-2)^2 + (4/3)(-2)^3 - (64(-4) + 16(-4)^2 + (4/3)(-4)^3)] V2 = π * [(4/3)(-2)^3 + 8(-2)^2 + 16(-2) - ((4/3)(-4)^3 + 8(-4)^2 + 16(-4))]

Теперь вычислим эти выражения:

V1 = π * [-128 + 64 - 32/3 - (-256 + 256 - 256/3)] V2 = π * [-32/3 + 32 - 32 - (-256/3 + 256 - 64)]

V1 = π * [-192/3 + 64/3] = π * [-128/3] V2 = π * [-576/3 + 192/3 - 192/3] = π * [-576/3]

Теперь сложим объемы оболочек:

V = V1 + V2 = π * (-128/3 - 576/3) = π * (-704/3)

Таким образом, объем тела, образованного вращением фигуры вокруг оси Ox, равен -704π/3 или примерно -733.49 кубических единиц.