Question

Как преобразовать в множители: (x^2 - 3a)^2 - 4(x + a)^2 < 0

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Вот,по формуле разности квадратов,перепроверь

Answer 2

Чтобы преобразовать данное неравенство в вид, удобный для анализа, начнем с факторизации выражения слева:

(x^2 - 3a)^2 - 4(x + a)^2 < 0

Сначала заметим, что x^2 - 3a можно факторизовать как (x - √3a)(x + √3a), так как это разность квадратов. Таким образом:

((x - √3a)(x + √3a))^2 - 4(x + a)^2 < 0

Далее, заметим, что (x + a)^2 также можно факторизовать как (x + a)(x + a). Теперь у нас есть:

((x - √3a)(x + √3a))^2 - 4(x + a)(x + a) < 0

Теперь мы можем использовать свойство разности квадратов для (x - √3a)(x + √3a):

((x^2 - 3a)(x^2 - 3a) - 4(x + a)(x + a)) < 0

Теперь продолжим упрощение:

(x^4 - 6ax^2 + 9a^2 - 4x^2 - 8ax - 4a^2) < 0

Теперь объединим подобные члены:

(x^4 - 10ax^2 + 5a^2) < 0

Теперь это выражение представляет квадратное уравнение вида x^2 - 10ax + 5a^2. Давайте решим его с использованием теории интервалов. Сначала найдем корни этого уравнения:

x^2 - 10ax + 5a^2 = 0

Для этого уравнения можно использовать квадратное уравнение:

D = b^2 - 4ac = (-10a)^2 - 4(1)(5a^2) = 100a^2 - 20a^2 = 80a^2

x = (-b ± √D) / (2a) = (10a ± √(80a^2)) / (2)

x = (10a ± 4a√2) / 2

x = 5a ± 2a√2

Таким образом, у нас есть два корня: x1 = 5a + 2a√2 и x2 = 5a - 2a√2.

Теперь рассмотрим интервалы между корнями и за пределами корней. Учитывая, что a > 0 и √2 > 1, мы можем сказать, что:

x1 > x2 (поскольку 5a + 2a√2 > 5a - 2a√2)

Теперь мы можем определить интервалы:

1. Если x < x2, то выражение (x^4 - 10ax^2 + 5a^2) положительно, так как оно больше значения второго корня.
2. Если x2 < x < x1, то выражение (x^4 - 10ax^2 + 5a^2) отрицательно, так как оно находится между двумя корнями.
3. Если x > x1, то выражение (x^4 - 10ax^2 + 5a^2) снова положительно, так как оно больше значения первого корня.

Теперь мы видим, что искомое неравенство (x^4 - 10ax^2 + 5a^2) < 0 выполняется только в интервале между корнями x2 и x1:

x2 < x < x1

Таким образом, ответ на данное неравенство:

(x^2 - 3a)^2 - 4(x + a)^2 < 0

это:

5a - 2a√2 < x < 5a + 2a√2