Question

Найти найменьшее значение функции y=cosX-sinX Хє[-п/2;п/2]​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y' = -sin(x)-cos(x)

-sin(x)-cos(x)=0 ⇒ -sinx= cosx ⇒  tgx = -1

x = -π/4 +πn

из наших критических точек в указанных отрезок [-п/2;п/2]​ попадает только х₁ = π/4  и х₂ =  -π/4

считаем значение функции в критических точках и на концах отрезка

у( -π/4) = √2

y( π/4) = 0

y( -π/2) = 1

y( π/2) = -1

таким образом наименьшего значения на отрезке [-п/2;п/2]​ функция достигает на конце отрезка х = π/2

минимальное значение y( π/2) = -1

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции $y = \cos(X) - \sin(X)$ на интервале $[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, нужно найти производную функции и найти её нули. На нулях производной функции значение самой функции будет экстремумом.

Сначала найдем производную $y$: $y' = -\sin(X) - \cos(X)$

Теперь найдем нули производной $y'$: $0 = -\sin(X) - \cos(X)$

Добавим $\sin(X)$ к обеим сторонам: $\sin(X) = -\cos(X)$

Теперь разделим обе стороны на $\cos(X)$: $\tan(X) = -1$

На интервале $[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, решение этого уравнения находится при $X = -\frac{\pi}{4}$.

Теперь мы найдем значение функции $y$ в этой точке: $y = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

Итак, наименьшее значение функции $y = \cos(X) - \sin(X)$ на интервале $[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ равно $\sqrt{2}$.