Question

Доказать, что при любом значение данного выражения поло- жительно: 1) (у — 3)(у — 1) + 5; 2) (у — 4)(у — 6) + 3.​

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

1

(у-3)(у-1)+5=у^2-4у+3+5=у^2-4у+4+4=(у-2)^2+4>0

Квадрат любого числа есть число положительное. Сумма положительних чисел >0

2.

(у-4)(у-6)+3=у^2-10у+24+3=(у-5)^2+2 >0

Answer 2

Для доказательства того, что данные выражения всегда положительны при любых значениях переменной "у," мы можем воспользоваться методом анализа знаков. Для этого рассмотрим оба выражения по отдельности:

1. (у - 3)(у - 1) + 5

Раскроем скобки:

у^2 - 3у - у + 3 + 5

Затем упростим:

у^2 - 4у + 8

Далее, рассмотрим выражение у^2 - 4у + 8 как квадратное уравнение относительно переменной "у." Мы можем определить его минимальное значение путем нахождения вершины параболы, которая равна -D/4a, где "D" - дискриминант, а "a" - коэффициент при у^2. В данном случае, a = 1.

D = (-4)^2 - 4(1)(8) = 16 - 32 = -16

Минимальное значение уравнения достигается при у = -(-16) / (2 * 1) = 8.

Таким образом, минимальное значение уравнения у^2 - 4у + 8 равно 8. Это означает, что данное выражение всегда больше или равно 8 при любых значениях "у," и, следовательно, всегда положительно.

2. (у - 4)(у - 6) + 3

Аналогично, раскроем скобки:

у^2 - 6у - 4у + 24 + 3

Упростим:

у^2 - 10у + 27

Теперь найдем минимальное значение этого квадратного уравнения:

D = (-10)^2 - 4(1)(27) = 100 - 108 = -8

Минимальное значение достигается при у = -(-8) / (2 * 1) = 4.

Значит, минимальное значение уравнения у^2 - 10у + 27 равно 27 - 40 + 27 = 14. Таким образом, данное выражение всегда больше или равно 14 при любых значениях "у," и, следовательно, всегда положительно.

Итак, мы доказали, что оба выражения всегда положительны при любых значениях "у."