Question

определить приближенное (с точностью до 0,1) значение корня уравнения x – arctg (x) = π. изменять x от 2 с шагом h = 0,1; изменение знака функции является признаком пересечения оси Ox.

Answer 1

Для оценки значения корня строим график.

По нему видно, что корень находится между 4 и 5.

x =  4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5

arctg(x) = 1,325817664 1,331564727 1,337053146 1,342299688 1,347319726 1,352127381 1,356735643 1,361156481 1,365400938 1,369479218 1,373400767

x-arctg(x) = 2,674182336 2,768435273 2,862946854 2,957700312 3,052680274 3,147872619 3,243264357 3,338843519 3,434599062 3,530520782 3,626599233

3,141592654 3,141592654 3,141592654 3,141592654 3,141592654 3,141592654 3,141592654 3,141592654 3,141592654 3,141592654 3,141592654 3,141592654

-0,467410317 -0,37315738 -0,2786458 -0,183892341 -0,088912379 0,006279965 0,101671703 0,197250865 0,293006409 0,388928128 0,485006579.

Наиболее близкое значение (с меньшей разностью) выделено жирным шрифтом. Это х = 4,5 при разнице 0,006279965.

Точное значение корня  до 5 знаков х = 4,49341.

Answer 2

Для нахождения приближенного значения корня уравнения $x - \arctan(x) = \pi$, можно использовать метод перебора, изменяя $x$ с шагом $h = 0,1$, как указано в вашем вопросе. Мы будем проверять знак функции в каждой точке и искать интервал, на котором происходит изменение знака. Затем, используя метод бисекции, мы найдем приближенное значение корня с заданной точностью.

Шаг 1: Найдем интервал, на котором происходит изменение знака функции. Начнем с $x = 2$ и будем увеличивать $x$ на $h = 0,1$ до тех пор, пока не найдем точку, где функция меняет знак.

Поскольку $x - \arctan(x)$ увеличивается при увеличении $x$, начнем с $x = 2$, и будем проверять знак функции при каждом увеличении $x$ на $0,1$.

Шаг 2: Применим метод бисекции на найденном интервале с изменением $x$ с шагом $0,1$ до тех пор, пока не достигнем заданной точности $0,1$.

Вот Python-код, который выполняет этот процесс:

pythonCopy code
import math

# Функция, которую мы хотим решить
def f(x):
    return x - math.atan(x) - math.pi

# Начальное значение x и шаг
x = 2
h = 0.1

# Искомый корень с заданной точностью
epsilon = 0.1

# Инициализация интервала
x1 = x
x2 = x + h

# Поиск интервала, на котором меняется знак функции
while f(x1) * f(x2) > 0:
    x1 = x2
    x2 = x2 + h

# Применение метода бисекции для поиска корня с заданной точностью
while abs(x1 - x2) > epsilon:
    x_mid = (x1 + x2) / 2
    if f(x1) * f(x_mid) <= 0:
        x2 = x_mid
    else:
        x1 = x_mid

# x1 или x2 содержат приближенное значение корня
root = (x1 + x2) / 2
print("Приближенное значение корня:", root)

Этот код найдет приближенное значение корня уравнения $x - \arctan(x) = \pi$ с точностью до $0,1$.