Question

Диф. уравнения 1-ого порядка с разделяющей переменной x*y*y'=1-x^2 Выполните пожалуйста(

Answer 1

Ответ:

$xy \times \frac{dy}{dx} = 1 - {x}^{2} \\ \int\limits \: ydy = \int\limits \frac{1 - {x}^{2} }{x} dx \\ \frac{ {y}^{2} }{2} = \int\limits( \frac{1}{x} - x)dx \\ \frac{ {y}^{2} }{2} = ln( |x| ) - \frac{ {x}^{2} }{2 } + C\\ {y}^{2} = 2 ln( |x| ) - {x}^{2} + C$

общее решение

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющей переменной xyy' = 1 - x^2, мы можем использовать метод разделения переменных. Этот метод предполагает, что мы разделим переменные x и y между левой и правой частью уравнения, чтобы получить уравнение, которое можно легко интегрировать.

1. Сначала выразим y' в виде функции y и x:

x * y * y' = 1 - x^2

y * y' = (1 - x^2) / x

2. Теперь давайте разделим переменные, переместив y и y' на одну сторону, а x и dx на другую:

y * dy = (1 - x^2) / x * dx

3. Интегрируем обе стороны уравнения:

∫ y dy = ∫ (1 - x^2) / x dx

4. Интегрируем обе стороны отдельно:

∫ y dy = ∫ (1/x - x) dx

5. Теперь вычислим интегралы:

∫ y dy = ∫ (1/x - x) dx

6. Интегралы будут следующими:

(1/2) * y^2 = ln(|x|) - (x^2)/2 + C

Где C - это постоянная интегрирования.

7. Решим уравнение относительно y:

y^2 = 2 * ln(|x|) - x^2 + 2C

y = ±√(2 * ln(|x|) - x^2 + 2C)

Таким образом, получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющей переменной xyy' = 1 - x^2.