Question

Дослідити на екстремум функцію z=x^2+y^2+xy-2x-y

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

z=x²+y²+xy-2x-y

находим частные производные

$\displaystyle z'_x=2x+y-2\\z'_y=x+2y-1$

теперь надо решить систему

$\displaystyle \left \{ {{2x+y-2=0} \atop {x+2y-1=0}} \right.$

умножим второе на -2 и сложим первое со вторым, получим  

-3y = 0  ⇒  у = 0

подставим это, например во второе, получим

х +0 -1 = 0  ⇒ х = 1

у нас есть одна критическая точка М(1; 0)

вычислим значение функции в этой точке

z₍₁,₀₎ = 1²+0²+1*0-2*1-0 = -1

теперь посмотрим, минимум это или максимум

$\displaystyle A= z''_xx= 2 \qquad B=z''_{xy} = 1 \qquad C= z'_{yy}=2$

в точке М(1;0) значения вторых частных производных будут такие же

теперь вывод

AC - B² = 3 > 0 и A > 0 , тогда  в точке M(1;0) функция достигает  минимума

$\displaystyle z_{(1;0)} = -1$

Answer 2

Для того щоб дослідити функцію на екстремум, ми спершу знайдемо її часткові похідні відносно змінних x та y і прирівняємо їх до нуля. Потім ми аналізуватимемо відомості про другі похідні для визначення типу точки екстремуму (мінімум, максимум чи сідлова точка).

Функція: z = x^2 + y^2 + xy - 2x - y

Часткова похідна відносно x: ∂z/∂x = 2x + y - 2

Часткова похідна відносно y: ∂z/∂y = 2y + x - 1

Тепер розв'яжемо систему рівнянь, прирівнявши обидві часткові похідні до нуля:

1. 2x + y - 2 = 0
2. 2y + x - 1 = 0

Спростимо цю систему рівнянь:

З рівняння (1) виразимо y: y = 2 - 2x

Підставимо цей вираз у рівняння (2):

2(2 - 2x) + x - 1 = 0

Розв'яжемо це рівняння відносно x:

4 - 4x + x - 1 = 0

-3x + 3 = 0

-3x = -3

x = 1

Тепер, ми можемо знайти відповідне значення y, використовуючи вираз, який ми визначили раніше:

y = 2 - 2x y = 2 - 2(1) y = 2 - 2 y = 0

Таким чином, точка екстремуму має координати (1, 0). Тепер ми можемо використовувати другі похідні для визначення типу точки екстремуму.

Друга похідна відносно x (змішана похідна):

∂²z/∂x² = 2

Друга похідна відносно y (змішана похідна):

∂²z/∂y² = 2

Тепер, обчислимо змішану похідну ∂²z/∂x∂y:

∂²z/∂x∂y = 1

Другі похідні вказують, що у точці (1, 0) маємо мінімум, оскільки обидві другі похідні додатні (випукла функція), і змішана похідна також додатна. Тобто, функція досягає мінімуму в точці (1, 0).