Question

4 стрелка независимо друг от друга сделали по одному выстрелу . Вероятность попадания в цель каждого стрелка равна 0,25.найдите вероятность в цель попал один стрелок

Answer 1

0,25 — это 1/4 — P (вероятность попадания одного стрелка).

По условию мы знаем, что в цель попал только один стрелок. Возьмём это событие как A.

Итак, отметим вероятности попадания как p(B) = 1/4 — первый стрелок, p(C) = 1/4 — второй стрелок и p(D) = 1/4 — третий стрелок, p(F) = 1/4 — четвёртый стрелок. У нас также есть и противоположные события — промахи стрелков. Их отметим теми же буквами, но с чертой сверху: p(B с чертой) = 4/4 - 1/4 = 3/4 — первый стрелок, p(C с чертой) = 3/4 — второй стрелок и p(D с чертой) = 3/4 — третий стрелок, p(F с чертой) = 3/4 — четвёртый стрелок.

В событии A попадёт только один стрелок, т.е. 1-й стрелок попадёт и 2-й промахнётся и 3-й промахнётся и 4-й промахнётся или 2-й стрелок попадёт и 1-й промахнётся и 3-й промахнётся и 4-й промахнётся или 3-й стрелок попадёт и 2-й промахнётся и 1-й промахнётся и 4-й промахнётся или 4-й стрелок попадёт и 2-й промахнётся и 1-й промахнётся и 3-й промахнётся

+ — это "или", × — это "и".

p(A) = B × C с чертой × D с чертой × F с чертой + C × B с четрой × D с чертой × F с чертой + D × B с чертой × C с чертой × F с чертой + F × B с чертой × C с чертой × D с чертой.

p(A) = 0,25 × 0,75 × 0,75 × 0,75 + 0,25 × 0,75 × 0,75 × 0,75 + 0,25 × 0,75 × 0,75 × 0.75 + 0,25 × 0,75 × 0,75 × 0.75 = 0,10546875 + 0,10546875 + 0,10546875 + 0,10546875 = 0,421875 = 27/64 — вероятность того, что только один стрелок попал в цель.

Answer 2

Для нахождения вероятности того, что только один из четырех стрелков попадет в цель, мы можем воспользоваться биномиальным распределением.

Пусть:

• $n$ - количество попыток (в данном случае, количество стрелков), равное 4.
• $p$ - вероятность успеха в одной попытке (т.е., вероятность попадания одного стрелка в цель), равное 0,25.
• $k$ - количество успешных исходов, которые нас интересуют (в данном случае, только один стрелок должен попасть в цель), равное 1.

Тогда вероятность того, что только один стрелок попадет в цель, можно вычислить следующим образом:

$$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}$$

Вставляем значения:

$$P(X = 1) = \binom{4}{1} \cdot (0,25)^1 \cdot (1 - 0,25)^{4 - 1}$$

Вычисляем биномиальный коэффициент:

$$\binom{4}{1} = 4$$

Теперь вычисляем вероятность:

$$P(X = 1) = 4 \cdot 0,25 \cdot 0,75^3$$

$$P(X = 1) = 4 \cdot 0,25 \cdot 0,421875$$

$$P(X = 1) = 0,421875$$

Итак, вероятность того, что только один из четырех стрелков попадет в цель, равна 0,421875, или 42,1875%.