Question

Дифференциальные неоднородные уравнения второго порядка y''-y'=6x^2+3x

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

////////

Answer 2

Чтобы решить данное дифференциальное уравнение второго порядка, вам нужно разделить его на две части: однородную и неоднородную части. Однородная часть уравнения будет иметь вид y'' - y' = 0, а неоднородная часть - 6x^2 + 3x.

1. Решим сначала однородную часть уравнения:

   y'' - y' = 0

   Это линейное однородное дифференциальное уравнение. Чтобы найти его решение, предположим, что y имеет вид y = e^rx, где r - неизвестная константа.

   Тогда: y' = re^rx y'' = r^2e^rx

   Подставляем это в уравнение:

   r^2e^rx - re^rx = 0

   e^rx (r^2 - r) = 0

   r^2 - r = 0

   r(r - 1) = 0

   Таким образом, получаем два корня: r1 = 0 и r2 = 1.

   Общее решение однородной части:

   y_h = c1e^0x + c2e^1x y_h = c1 + c2e^x

2. Теперь рассмотрим неоднородную часть уравнения:

   6x^2 + 3x

3. Чтобы найти частное решение для неоднородной части, можно воспользоваться методом вариации постоянных (методом Лагранжа). Предположим, что решение для неоднородной части имеет вид y_p = Ax^2 + Bx + C, где A, B и C - неизвестные константы.

   Тогда: y_p' = 2Ax + B y_p'' = 2A

   Подставляем это в неоднородную часть уравнения:

   2A - (2Ax + B) = 6x^2 + 3x

   2A - 2Ax - B = 6x^2 + 3x

   Теперь сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

   -2A = 3 (коэффициент при x^2) -2A = 3x (коэффициент при x) -B = 0 (свободный член)

   Из первого уравнения получаем A = -3/2. Из второго уравнения получаем B = 0.

   Таким образом, частное решение для неоднородной части:

   y_p = (-3/2)x^2

4. Теперь объединим частное решение для неоднородной части и общее решение однородной части, чтобы получить полное решение уравнения:

   y = y_h + y_p y = c1 + c2e^x + (-3/2)x^2

Это и есть общее решение дифференциального уравнения второго порядка y'' - y' = 6x^2 + 3x.