Question

Исследовать сходимость рядов: 10n^2/(2n+5)

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

А(n)=10n^2/(2n+5)

Так как в числителе n^2, а в знаменателе n, то числитель растет бистрее знаменателя и при n→бесконечности А(n) не стремится к 0 → не виполняется необходимое условие сходимости → ряд расходится

Answer 2

Для исследования сходимости данного ряда, воспользуемся тестом сравнения. Сравним данный ряд с гармоническим рядом, так как гармонический ряд хорошо известен, и мы можем легко определить его сходимость.

Исследуем ряд:

$a_n = \frac{10n^2}{2n+5}$

Сравним его с гармоническим рядом:

$b_n = \frac{1}{n}$

Теперь рассмотрим отношение этих двух рядов:

$c_n = \frac{a_n}{b_n} = \frac{10n^2}{2n+5} \cdot \frac{n}{1} = \frac{10n^3}{2n+5}$

Теперь мы можем рассмотреть предел отношения $c_n$ при $n \to \infty$:

$$\lim_{n \to \infty} c_n = \lim_{n \to \infty} \frac{10n^3}{2n+5}$$

Для определения этого предела, можно воспользоваться правилом Лопиталя, применимым к бесконечностям:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{10n^3}{2n+5} = \lim_{n \to \infty} \frac{30n^2}{2} = \infty$$

Поскольку предел отношения $c_n$ при $n \to \inффинити$ равен бесконечности, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ расходится, так как сравниваемый гармонический ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ также расходится.

Итак, исходный ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{10n^2}{2n+5}$ расходится.