Question

8x^4-8x^2+2 Докажите, что при любых действительных значениях x многочлен не может принимать отрицательных значений.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

попробуем решить неравенство:

8х^4 - 8х^2 + 2 < 0 (делим на 2)

4х^4 - 4х^2 + 1 < 0 (выделяем сумму квадратов)

( 2х^2 - 1 )^2 < 0

, а квадрат этого выражения может быть только больше либо равен нуля ( t^2 > 0)

как-то так) можно лучший ответ и 5 звезд? если нашли ошибку пните меня в комментариях)

Answer 2

Для доказательства того, что данный многочлен 8x^4 - 8x^2 + 2 не может принимать отрицательные значения при любых действительных значениях x, мы можем воспользоваться методом анализа знаков.

Сначала заметим, что данное уравнение имеет только четные степени x, поэтому оно всегда будет положительным или равным нулю, но никогда не будет отрицательным. Давайте это докажем более формально.

Рассмотрим выражение 8x^4 - 8x^2 + 2 и попробуем выразить его в виде квадратного выражения:

Положим y = x^2. Тогда у нас есть:

8x^4 - 8x^2 + 2 = 8y^2 - 8y + 2.

Теперь давайте рассмотрим это выражение 8y^2 - 8y + 2 как квадратное выражение относительно y. Мы можем записать его в виде:

8y^2 - 8y + 2 = 8(y^2 - y) + 2.

Далее, мы можем факторизовать это выражение:

8(y^2 - y) + 2 = 8y(y - 1) + 2.

Теперь давайте рассмотрим это выражение. Первый член 8y(y - 1) всегда неотрицателен, потому что произведение двух неотрицательных чисел положительно или равно нулю. Второй член 2 также положителен.

Следовательно, 8(y^2 - y) + 2 всегда неотрицательно. Это означает, что исходный многочлен 8x^4 - 8x^2 + 2 также всегда неотрицателен при любых действительных значениях x и никогда не принимает отрицательных значений.