Question

2y''-y'-y=e^x+sinx помогите решить дифф уравнение

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

2y'' - y' - y = e^x + sin x

Характеристическое уравнение

2k^2 - k - 1 = 0

(k - 1)(2k + 1) = 0

k1 = 1; k2 = -1/2

Решение однородного уравнения:

y0 = C1*e^x + C2*e^(-x/2)

Теперь решаем неоднородное уравнение.

Правая часть f(x) = e^x + sin x

Неоднородная часть решения:

y* = Axe^x + Bsin x + Ccos x

y* ' = Ae^x + Axe^x + Bcos x - Csin x

y* '' = Ae^x + Ae^x + Axe^x - Bsin x - Ccos x = 2Ae^x + Axe^x - Bsin x - Ccos x

Подставляем в уравнение

2(2Ae^x + Axe^x - Bsin x - Ccos x) - (Ae^x + Axe^x + Bcos x - Csin x) -

- (Axe^x + Bsin x + Ccos x) = e^x + sin x

4Ae^x + 2Axe^x - 2Bsin x - 2Ccos x - Ae^x - Axe^x - Bcos x + Csin x -

- Axe^x - Bsin x - Ccos x = e^x + sin x

e^x*(4A-A) + xe^x*(2A-A-A) + sin x*(-2B+C-B) + cos x*(-2C-B-C) = e^x + sin x

3A*e^x + 0*xe^x + (-3B+C)*sin x + (-B-3C)*cos x = e^x + sin x

Составляем систему:

{ 3A = 1

{ -3B + C = 1

{ -B - 3C = 0

Решаем:

{ A = 1/3

{ -9B + 3C = 3

{ -B - 3C = 0

Получаем:

{ A = 1/3

{ B = -3/10 = -0,3

{ C = -B/3 = 1/10 = 0,1

Неоднородная часть решения:

y* = Axe^x + Bsin x + Ccos x = x/3*e^x - 0,3sin x + 0,1cos x

Полное решение:

y = y0 + y* = C1*e^x + C2*e^(-x/2) + x/3*e^x - 0,3sin x + 0,1cos x

Answer 2

Давайте решим данное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнение имеет вид:

2y'' - y' - y = e^x + sin(x)

Чтобы решить его, предположим, что решение имеет вид y(x) = y_h(x) + y_p(x), где y_h(x) - это общее решение соответствующего однородного уравнения, а y_p(x) - это частное решение неоднородного уравнения.

Сначала решим соответствующее однородное уравнение:

2y'' - y' - y = 0

Для этого уравнения характеристическое уравнение будет:

2r^2 - r - 1 = 0

Решим его, используя квадратное уравнение:

2r^2 - r - 1 = 0

Дискриминант D = 1^2 - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9

r1 = (-1 + √9) / (2 * 2) = (1 + 3) / 4 = 4/4 = 1 r2 = (-1 - √9) / (2 * 2) = (1 - 3) / 4 = -2/4 = -1/2

Теперь у нас есть два корня характеристического уравнения. Общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

y_h(x) = c1 * e^r1x + c2 * e^r2x

y_h(x) = c1 * e^x + c2 * e^(-1/2x)

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Для правой части уравнения e^x + sin(x) выберем следующие виды частных решений:

1. Для e^x: y_p1(x) = A * e^x, где A - некоторая постоянная.
2. Для sin(x): y_p2(x) = B * sin(x) + C * cos(x), где B и C - некоторые постоянные.

Теперь возьмем производные частных решений:

y_p1'(x) = A * e^x y_p1''(x) = A * e^x

y_p2'(x) = B * cos(x) - C * sin(x) y_p2''(x) = -B * sin(x) - C * cos(x)

Подставим их в исходное уравнение:

2(y_p1'' - y_p1' - y_p1) + (y_p2'' - y_p2' - y_p2) = e^x + sin(x)

2(A * e^x - A * e^x - A * e^x) + (-B * sin(x) - C * cos(x) - B * cos(x) + C * sin(x) - B * sin(x) - C * cos(x)) = e^x + sin(x)

-2A * e^x - 2B * sin(x) - 2C * cos(x) = e^x + sin(x)

Теперь сгруппируем члены:

(1 - 2A) * e^x - 2B * sin(x) - 2C * cos(x) = e^x + sin(x)

Теперь сравниваем коэффициенты при соответствующих функциях:

1 - 2A = 1 (для e^x) -2B = 1 (для sin(x)) -2C = 1 (для cos(x))

Из первого уравнения получаем, что 2A = 0, следовательно, A = 0. Из второго уравнения получаем, что B = -1/2. Из третьего уравнения получаем, что C = -1/2.

Таким образом, мы нашли частное решение неоднородного уравнения:

y_p(x) = 0 * e^x - (1/2) * sin(x) - (1/2) * cos(x)

Теперь общее решение неоднородного уравнения будет суммой общего решения однородного уравнения и частного решения:

y(x) = y_h(x) + y_p(x)

y(x) = c1 * e^x + c2 * e^(-1/2x) - (1/2) * sin(x) - (1/2) * cos(x)

Где c1 и c2 - произвольные постоянные.