Question

Как решить интеграл x^2*dx/sqrt(2-x^2) методом замены

Answer 1

Ответ:

$\int \dfrac{x^2\, dx}{\sqrt{2-x^2}}=\Big[\ x=\sqrt2sint\ ,\ dx=\sqrt2\, cost\, dt\ \ ,\ \ sint=\dfrac{x}{\sqrt2}\ ,\\\\\\2-x^2=2(1-sin^2t)=2cos^2t\ \Big]=\int \dfrac{2\, sin^2t}{\sqrt{2\, cos^2t}}\cdot \sqrt2\, cost\, dt=\int \dfrac{2\sqrt2\, sin^2t\cdot cost}{\sqrt2\, cost}\, dt=\\\\\\=\int 2sin^2t\, dt=\int (1-cos2t)\, dt=\int \, dt-\int cos2t\, dt=t-\dfrac{1}{2}\cdot sin2t+C=\\\\\\=arcsin\dfrac{x}{\sqrt2}-\dfrac{1}{2}\cdot sin\Big(2arcsin\dfrac{x}{\sqrt2}\Big)+C=$

$=arcsin\dfrac{x}{\sqrt2}-\dfrac{1}{2}\cdot 2\, sin\Big(arcsin\dfrac{x}{\sqrt2}\Big)\cdot cos\Big(arcsin\dfrac{x}{\sqrt2}\Big)+C=\\\\\\=arcsin\dfrac{x}{\sqrt2}-\dfrac{x}{\sqrt2}\cdot \dfrac{\sqrt{2-x^2}}{\sqrt2}+C=arcsin\dfrac{x}{\sqrt2}-\dfrac{x\, \sqrt{2-x^2}}{2}+C=$

Answer 2

Для решения данного интеграла с использованием метода замены, мы можем воспользоваться тригонометрической заменой. Для этого предлагается использовать следующую замену:

$x = \sqrt{2}\sin\theta$

Теперь, давайте выразим dx через dθ:

$dx = \sqrt{2}\cos\theta d\theta$

Теперь заменим x и dx в исходном интеграле:

$$\int \frac{x^2}{\sqrt{2-x^2}} dx = \int \frac{(\sqrt{2}\sin\theta)^2}{\sqrt{2-(\sqrt{2}\sin\theta)^2}} (\sqrt{2}\cos\theta) d\theta$$

Упростим подынтегральное выражение:

$$\int \frac{2\sin^2\theta}{\sqrt{2-2\sin^2\theta}} \cdot \sqrt{2}\cos\theta d\theta$$

Теперь можно упростить подкоренное выражение:

$$\sqrt{2-2\sin^2\theta} = \sqrt{2(1-\sin^2\theta)} = \sqrt{2\cos^2\theta}$$

Итак, наш интеграл становится:

$$\int \frac{2\sin^2\theta}{\sqrt{2\cos^2\theta}} \cdot \sqrt{2}\cos\theta d\theta$$

Теперь у нас есть возможность упростить подынтегральное выражение:

$$\int 2\sin^2\theta d\theta$$

Теперь мы можем решить этот интеграл. Интеграл $\sin^2\theta$ можно выразить через элементарные тригонометрические функции:

$$\int 2\sin^2\theta d\theta = \int (\cos(2\theta) - 1) d\theta$$

Теперь проинтегрируем каждый член:

$$\int \cos(2\theta) d\theta - \int d\theta$$

Интеграл $\int \cos(2\theta) d\theta$ равен $\frac{1}{2}\sin(2\theta)$, а интеграл $\int d\theta$ равен $\theta$.

Теперь подставим обратную замену $\theta$:

$$\frac{1}{2}\sin(2\theta) - \theta$$

Теперь вернемся к исходной переменной x, используя обратную замену $x = \sqrt{2}\sin\theta$:

$$\frac{1}{2}\sin\left(2\sin^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right) - \sin^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) + C$$

Теперь можно упростить выражение, используя тригонометрические тождества. Для $\sin(2\sin^{-1}(u))$ можно использовать тождество $\sin(2\sin^{-1}(u)) = 2u\sqrt{1-u^2}$