Question

Около четырëхугольника ABCD описана окружность. Лучи AB и DC пересекаются в точке M. Докажите, что углы в MBC и ADC равны

Answer 1

Поскольку углы MBC и ABC смежные, их сумма равна 180°.

Поскольку около четырехугольника ABCD можно описать окружность, сумма углов ADC и ABC равна 180°.

Следовательно углы MBC и ADC равны.

Answer 2

Для доказательства того, что углы в MBC и ADC равны, мы можем воспользоваться свойствами окружности и параллельными линиями. Для начала рассмотрим четырёхугольник ABCD и окружность, описанную вокруг него.

У нас есть следующие данные:

1. Окружность, описанная вокруг четырёхугольника ABCD.
2. Лучи AB и DC пересекаются в точке M.

Теперь рассмотрим углы в данном четырёхугольнике. Поскольку это окружность, то угол, подписанный на дуге, равен половине центрального угла, опирающегося на эту дугу. То есть угол BAC равен половине угла BDC, и угол CAD равен половине угла CBA.

Теперь обратим внимание на то, что лучи AB и DC пересекаются в точке M. Из этого следует, что угол BMD и угол CMD также являются центральными углами для дуг BM и CM соответственно. Таким образом, угол BMD равен углу BAC, и угол CMD равен углу CAD.

Теперь мы видим, что угол BMD равен углу BAC, и угол CMD равен углу CAD. Но угол BAC равен углу ADC (половина центрального угла на дуге AC), и угол CAD равен углу CBA (половина центрального угла на дуге BC).

Итак, мы видим, что угол BMD равен углу BAC (ADC), и угол CMD равен углу CAD (CBA). Это означает, что углы в MBC и ADC действительно равны.