Question

Помогите решить дифференциальное уравнение y''-(y'/x-1)=x(x-1)

Answer 1

$\frac{(x-1)(y')'-(x-1)'y'}{(x-1)^2}=x;\ \left(\frac{y'}{x-1}\right)'=x;\ \frac{y'}{x-1}=\frac{x^2}{2}+C_1;\ y' =\frac{x^3-x^2}{2}+C_1(x-1);$

$y=\frac{x^4}{8}-\frac{x^3}{6}+C_1\frac{(x-1)^2}{2}+C_2$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка, давайте воспользуемся методом вариации постоянных. Этот метод позволяет нам найти частное решение уравнения.

Исходное уравнение:

y'' - (y'/x - 1) = x(x - 1)

Давайте предположим, что частное решение имеет вид y_p(x) = A(x)x^2 + B(x)x + C(x), где A(x), B(x), и C(x) - некоторые функции от x.

Теперь вычислим производные y_p(x):

y_p'(x) = 2Ax + B(x) y_p''(x) = 2A

Теперь подставим y_p(x), y_p'(x), и y_p''(x) обратно в исходное уравнение:

2A - (2Ax + B) / x + 1 = x(x - 1)

Умножим обе стороны на x, чтобы избавиться от дроби:

2Ax - 2Ax - B + x = x^2(x - 1)

Теперь видно, что 2Ax и -2Ax взаимно уничтожаются. Остается:

-B + x = x^2(x - 1)

Теперь сравним коэффициенты слева и справа:

-1 = 0 (по коэффициентам перед x^2) 0 = 0 (по коэффициентам перед x)

Как видите, у нас возникают противоречия, так как -1 ≠ 0 и 0 = 0. Это означает, что наше предположение о форме частного решения было неверным.

Давайте попробуем другой вид частного решения. Допустим, что y_p(x) = Ax^2 + Bx. Тогда:

y_p'(x) = 2Ax + B y_p''(x) = 2A

Подставим это в уравнение:

2A - (2Ax + B) / x + 1 = x(x - 1)

Теперь у нас нет противоречий:

2A - (2Ax + B) / x + 1 = x(x - 1)

Умножим обе стороны на x, чтобы избавиться от дроби:

2Ax - 2Ax - B + x = x^2(x - 1)

• B + x = x^2(x - 1)

Теперь мы можем выразить B:

B = x - x^2(x - 1)

B = x - x^3 + x^2

Теперь, зная B, мы можем выразить A:

2A = -B + x

2A = -(x - x^3 + x^2) + x

2A = -x + x^3 - x^2 + x

2A = x^3 - x^2

A = (x^3 - x^2) / 2

Теперь у нас есть значения A и B, и мы можем записать частное решение:

y_p(x) = (x^3 - x^2) / 2 * x^2 + (x - x^3 + x^2) * x

y_p(x) = (x - x^2) / 2 + x - x^3 + x^2

y_p(x) = -x^3 + 2x - 1/2

Теперь мы найдем частное решение уравнения. Оно равно y_p(x), а общее решение будет суммой частного решения и решения соответствующего однородного уравнения.