Question

Найти количество решений уравнения x ^ 2-xy-2y ^ 2 = 7, где x և y - натуральные числа

Answer 1

$><strong></strong></p> <p>Произведение двух чисел равно 7. Такое возможно только в случаях:</p> <p>7*1, 1*7, (-7)*(-1), (-1)*(-7).</p> <p>Рассмотрим все 4 случая.</p> <p><img src=$ 0 0

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение:

x^2 - xy - 2y^2 = 7

Мы ищем натуральные числа x и y, удовлетворяющие этому уравнению.

Мы можем преобразовать это уравнение в квадратное уравнение относительно x:

x^2 - xy - 2y^2 - 7 = 0

С использованием квадратного дискриминанта, мы имеем:

D = b^2 - 4ac = (-y)^2 - 4(1)(-2y^2 - 7) = y^2 + 8y^2 + 28 = 9y^2 + 28

Теперь мы видим, что D должен быть полным квадратом, чтобы у нас было целое решение x. То есть:

9y^2 + 28 = k^2

где k - натуральное число.

Теперь давайте попробуем найти все целые решения этого уравнения для y и k:

9y^2 + 28 = k^2

28 = k^2 - 9y^2

(3y)^2 - k^2 = 28

Теперь мы видим, что это уравнение представляет собой разность квадратов:

(3y + k)(3y - k) = 28

28 имеет несколько пар факторов, и мы можем рассмотреть все возможные комбинации:

1. (3y + 14)(3y - 14)
2. (3y + 7)(3y - 7)
3. (3y + 4)(3y - 4)
4. (3y + 2)(3y - 2)

Теперь давайте решим каждую из этих пар уравнений:

1. 3y + 14 = 3y - 14: Это уравнение не имеет решений для натуральных чисел y.

2. 3y + 7 = 3y - 7: Это также не имеет решений.

3. 3y + 4 = 3y - 4: Это уравнение также не имеет решений.

4. 3y + 2 = 3y - 2: Здесь у нас есть решение y = 2.

Таким образом, единственным натуральным числом, удовлетворяющим исходному уравнению, является y = 2. Подставив это значение в исходное уравнение, мы можем найти x:

x^2 - 2x - 2(2^2) = 7 x^2 - 2x - 8 = 7 x^2 - 2x - 15 = 0

Это уравнение можно решить с помощью факторизации или квадратного уравнения. Решение x = 5 удовлетворяет уравнению.

Итак, единственной парой натуральных чисел (x, y), удовлетворяющей уравнению x^2 - xy - 2y^2 = 7, является (x, y) = (5, 2).