Question

Учитывая функцию: . f (x)=x sin x 1) Докажите, что f - четная функция. 2)Найдите точки пересечения графика функции f с линией y = x в сечении [-2π,2π]

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

f (x)=x sin x  ;        D( f ) = R ;

1)  f( - x ) = - x * sin(- x ) = - x * (- sinx ) = x sinx = f( x ) .      f( - x ) = f( x ) ,

   тому функція f( x ) - парна .

2) Розв"язуємо систему рівнянь :

      {  y = x sin x ,

      {  y = x ;          звідси маємо рівняння :  x sin x = х ;

                                x sin x - х = 0 ;

                                х( sinx - 1 ) = 0 ;

                  x = 0                або         sinx - 1 = 0 ;

                                                          sіnx = 1 ;

                                                           x = π/2 + 2πn , nЄ Z ;

x₁ = 0 ;     x₂= π ;   x₃ = - 3π/2 ;

y₁ = 0 ;     y₂= π ;   y₃ = - 3π/2 .      

Answer 2

Давайте начнем с доказательства, что функция f(x) = x * sin(x) является четной функцией.

1. Доказательство того, что f(x) - четная функция:

Функция f(x) называется четной, если выполняется следующее условие:

f(-x) = f(x) для всех x в области определения функции.

В нашем случае:

f(-x) = (-x) * sin(-x) = -x * (-sin(x)) = x * sin(x) = f(x).

Здесь мы использовали то, что sin(-x) = -sin(x) и умножение на -1 не меняет знака выражения. Таким образом, f(x) = f(-x), и функция f(x) является четной.

2. Теперь найдем точки пересечения графика функции f с линией y = x в сечении [-2π, 2π].

Для нахождения точек пересечения, установим равенство f(x) = x:

x * sin(x) = x.

Заметим, что x = 0 является решением этого уравнения.

Для остальных значений x (x ≠ 0), мы можем делить обе стороны на x:

sin(x) = 1.

Теперь, чтобы найти значения x, удовлетворяющие уравнению sin(x) = 1 в интервале [-2π, 2π], мы замечаем, что sin(x) = 1 при x = π/2. Также, sin(x) = 1 при x = 5π/2.

Поэтому точки пересечения графика функции f с линией y = x в интервале [-2π, 2π] - это (0, 0), (π/2, π/2) и (5π/2, 5π/2).