Question

Побудувати графік функції y=5+4x-x^2 1) Знайти проміжки зростання спадання 2) Множину розвязків нерівності 5+4x-x^2<0 Помогите решить плс

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y=-x² +4х +5

1)

для построения графика функции применим способы преобразования графиков

за основу берем график функции у = х² -это известный график строится легко

дальше нам надо в нашем уравнении выделить полный квадрат

5+4x-x²= -((x²-4x+4)-4-5) = -(x-2)² +9

теперь начинаем преобразования

1) симметрично отобразим график у=х² относительно оси ох

2) сделаем преобразования связанные с АРГУМЕНТОМ

Если к АРГУМЕНТУ функции  добавляется константа, то происходит сдвиг (параллельный перенос) графика вдоль оси ох.  

Правила:

а) чтобы построить график функции f(x+b) , нужно график  f(x) сдвинуть ВДОЛЬ оси ox на  b единиц влево;

2) чтобы построить график функции f(x-b), нужно график  f(x) сдвинуть ВДОЛЬ оси ox  на b единиц вправо.

у нас функция -(х-2)² +9

значит у нас b = -2, тогда мы сдвигаем наш график на 2 вправо

3) и наконец разберемся с преобразованием связанным с самой ФУНКЦИЕЙ

если к ФУНКЦИИ  добавляется константа f(x) +C, то происходит сдвиг (параллельный перенос) её графика вдоль оси oy .  

a) чтобы построить график функции f(x)+C, нужно график f(x) сдвинуть ВДОЛЬ оси oy  на  C единиц ВВЕРХ;

2) чтобы построить график функции f(x) -С, нужно график f(x)  сдвинуть ВДОЛЬ оси oy  на  c единиц ВНИЗ.

в нашем случае С = 9, значит сдвигаем график вверх по оси оу на 9

итак, подводим итоги

1) выделяем у нашей функции полный квадрат, получим

у = -(х-2)²+9

1) берем  у=х²

2) отображаем ее симметрично относительно оси ох (направляем ветви вниз)

3) сдвигаем по оси ох вправо на 2

4)сдвигаем вверх по оси оу на 9

всё, мы получили нужный нам график

все этапы нарисую на картинке. слева функции, справа по соответствующему цвету графики

2)

промежутки возрастания и убывания

это нарисую на другом графике

функция возрастает на промежутке (-∞;  2]

функция убывает на промежутке [2; +∞)

3)

функция 5+4x-x²<0 при х < -1 и х >5

Answer 2

Graph of the Function y = 5 + 4x - x^2 + 1

To plot the graph of the function y = 5 + 4x - x^2 + 1, we can start by finding the x-intercepts, y-intercept, and vertex of the parabola.

1. X-intercepts: To find the x-intercepts, we set y = 0 and solve for x: 5 + 4x - x^2 + 1 = 0 Rearranging the equation, we get: x^2 - 4x - 6 = 0 Using the quadratic formula, we can find the solutions for x: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a) Plugging in the values a = 1, b = -4, and c = -6, we get: x = (4 ± √(16 + 24)) / 2 Simplifying further, we have: x = (4 ± √40) / 2 x = (4 ± 2√10) / 2 x = 2 ± √10 Therefore, the x-intercepts are x = 2 + √10 and x = 2 - √10.

2. Y-intercept: To find the y-intercept, we set x = 0 and solve for y: y = 5 + 4(0) - (0)^2 + 1 y = 5 + 0 - 0 + 1 y = 6 Therefore, the y-intercept is y = 6.

3. Vertex: The vertex of a parabola can be found using the formula x = -b / (2a). In this case, a = 1 and b = -4. x = -(-4) / (2 * 1) x = 4 / 2 x = 2 To find the corresponding y-coordinate, we substitute x = 2 into the equation: y = 5 + 4(2) - (2)^2 + 1 y = 5 + 8 - 4 + 1 y = 10 Therefore, the vertex is (2, 10).

Now, let's plot the graph of the function y = 5 + 4x - x^2 + 1:


Intervals of Increasing and Decreasing

To find the intervals of increasing and decreasing for the function y = 5 + 4x - x^2 + 1, we need to examine the sign of the derivative.

The derivative of the function is given by: y' = 4 - 2x

To find the critical points, we set y' = 0 and solve for x: 4 - 2x = 0 2x = 4 x = 2

Now, we can create a sign chart to determine the intervals of increasing and decreasing:

| x | -∞ | 2 | +∞ | | --- | --- | --- | --- | | y' | - | 0 | + |

From the sign chart, we can see that the function is decreasing for x < 2 and increasing for x > 2.

Therefore, the interval of decreasing is (-∞, 2) and the interval of increasing is (2, +∞).

Set of Solutions for the Inequality 5 + 4x - x^2 < 0

To find the set of solutions for the inequality 5 + 4x - x^2 < 0, we can start by solving the corresponding equation:

5 + 4x - x^2 = 0

Rearranging the equation, we get:

x^2 - 4x - 5 = 0

Using the quadratic formula, we can find the solutions for x:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Plugging in the values a = 1, b = -4, and c = -5, we get:

x = (4 ± √(16 + 20)) / 2

Simplifying further, we have:

x = (4 ± √36) / 2

x = (4 ± 6) / 2

x = 5 or x = -1

Therefore, the solutions for the equation 5 + 4x - x^2 = 0 are x = 5 and x = -1.

To determine the set of solutions for the inequality 5 + 4x - x^2 < 0, we need to test intervals between these solutions.

We can create a sign chart to determine the sign of the inequality:

| x | -∞ | -1 | 5 | +∞ | | --- | --- | --- | --- | --- | | y | - | + | - | + |

From the sign chart, we can see that the inequality is satisfied when -1 < x < 5.

Therefore, the set of solutions for the inequality 5 + 4x - x^2 < 0 is (-1, 5).

I hope this helps! Let me know if you have any further questions.