Question

Решите уравнение 9^x+4^x=2•6^x

Answer 1

9^x+4^x=2•6^x  /:6^x

9^x = (3^2)^x = 3^2x

4^x = (2^2)^x = 2^2x

6^x = 2^x*3^x

3^x/2^x + 2^x/3^x = 2

3^x/2^x = y > 0

y + 1/y = 2

y^2 - 2y + 1 = 0

(y - 1)^2 = 0

y = 1

(3/2)^x = 1

(3/2)^x = (3/2)^0

x = 0

Answer 2

Для начала преобразуем уравнение:

9^x + 4^x = 2 * 6^x

Заметим, что 9 = 3^2 и 4 = 2^2, поэтому можно записать уравнение в следующем виде:

(3^2)^x + (2^2)^x = 2 * (2*3)^x

Теперь воспользуемся свойствами степеней:

3^2x + 2^2x = 2 * 2^x * 3^x

Теперь можно заметить, что 2^x * 3^x = 6^x, поэтому уравнение преобразуется в:

3^2x + 2^2x = 2 * 6^x

Теперь мы видим, что уравнение преобразовалось в квадратное уравнение относительно 3^x и 2^x. Обозначим 3^x за t и 2^x за s:

t^2 + s^2 = 2ts

Это уравнение можно решить с помощью метода подстановки или факторизации.

Например, можно представить уравнение в виде (t - s)^2 = 0, откуда получаем t - s = 0, т.е. t = s.

Теперь подставляем обратно наши обозначения:

3^x = 2^x

Далее можно возвести обе стороны уравнения в степень 1/x:

(3^x)^(1/x) = (2^x)^(1/x)

3 = 2

Так как 3 не равно 2, то мы пришли к противоречию. Это означает, что уравнение 9^x + 4^x = 2 * 6^x не имеет решений в действительных числах.