Question

Комплексная олимпиада «Бастау» 1. Мишка переставляет свои любимые игрушки. На первом месте была Звездочка.На втором – Снеговик, на третьем — Лошадка, и на четвертом – Заяц. ПомогитеМишке посчитать, сколькими способами он может расставить игрушки, так чтобы ниодна игрушка не стояла на своем месте?10 9 8 12​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Если не учитывать направление перестановок, то 24 способа.

То есть считать перестановки одинаковыми типа:

1 - 2 - 3 - 4 и

4 - 3 - 2 - 1

то число перестановок 4! = 24

если считать такие перестановки идентичными, то всего 12 перестановок.

Вырастим 4 дерева с корнями 1, 2, 3, 4 (пример дерева с корнем 1  см. ниже)

Получим 4×6 = 24

С учетом вышесказанного

всего 12 перестановок.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать принцип включения-исключения.

Итак, у нас есть 4 игрушки, которые нужно расставить так, чтобы ни одна из них не стояла на своем месте. Пусть A_i обозначает событие, когда игрушка i стоит на своем месте. Тогда мы можем использовать принцип включения-исключения для подсчета числа способов, когда ни одна игрушка не стоит на своем месте.

По принципу включения-исключения, число способов, когда хотя бы одна игрушка стоит на своем месте, равно сумме числа способов, когда стоит на своем месте только одна игрушка, минус число способов, когда стоят на своих местах две игрушки, плюс число способов, когда стоят на своих местах три игрушки, минус число способов, когда стоят на своих местах все четыре игрушки.

Число способов, когда только одна игрушка стоит на своем месте, равно 4 * (3!) = 24. Число способов, когда стоят на своих местах две игрушки, равно 4 * (2!) = 8. Число способов, когда стоят на своих местах три игрушки, равно 4 * (1!) = 4. Число способов, когда стоят на своих местах все четыре игрушки, равно 4! = 24.

Теперь мы можем применить принцип включения-исключения:

Число способов, когда ни одна игрушка не стоит на своем месте, равно общему числу способов минус число способов, когда хотя бы одна игрушка стоит на своем месте: N = 4! - 4 * (3!) + 4 * (2!) - 4 * (1!) = 24 - 24 + 8 - 4 = 4.

Таким образом, Мишка может расставить игрушки так, чтобы ни одна из них не стояла на своем месте, всего 4 способами.