Question

Для сбора урожая лука на даче приготовили 4 ящика. Когда закончили сбор, то оказалось, что в первом, втором и третьем ящиках вместе не менее 12 кг лука, в первом, втором и четвёртом — не более 9 кг лука, во втором, третьем и четвёртом — не более 7 кг лука, а в первом, третьем и четвёртом — не более 8 кг лука. Сколько лука было в каждом ящике?

Answer 1

Обозначим 1, 2, 3 и 4 ящики соответственно a, b, c, d

Составим неравенства

a+b+c>=12 (1)

a+b+d<=9 (2)

c+d<=7 (3)

a+c+d<=8 (4)

Вычтем из 4го 3ье

а<=1 (5)

или

-a>=-1 (6)

Сложим 1ое с 6ым

b+c>=11 (7)

Вычтем 5ое из 2го

b+d<=8 (8)

или

-b-d>=-8 (9)

Вычтем 9ое из 7го

2b+c+d>=19 (10)

Перепишем 3ье как

-c-d>=-7 (11)

Сложим 10ое и 11ое

2b>=12 или

b>=6 (12)

Вычтем 12ое из 7го

c>=5 (13)

Сложим 13ое с 11ым

-d>=-2 или

d<=2

ОТВЕТ:

В 1ом ящике не более 1кг лука,

во 2ом - не менее 6кг,

в 3ем - не менее 5кг,

в 4ом - не более 2кг

Answer 2

Обозначим количество лука в первом, втором, третьем и четвертом ящиках через $x_1$, $x_2$, $x_3$ и $x_4$ соответственно. Тогда задача состоит в том, чтобы решить систему неравенств:

\begin{align*} x_1 + x_2 + x_3 &\geq 12 \ x_1 + x_2 + x_4 &\leq 9 \ x_2 + x_3 + x_4 &\leq 7 \ x_1 + x_3 + x_4 &\leq 8 \ x_1, x_2, x_3, x_4 &\geq 0 \ \end{align*}

Можно заметить, что неравенство $x_1 + x_2 + x_3 \geq 12$ и $x_1 + x_3 + x_4 \leq 8$ противоречат друг другу, так как если бы выполнялись оба неравенства одновременно, то получилось бы $12 \leq x_1 + x_2 + x_3 \leq x_1 + x_3 + x_4 \leq 8$, что невозможно. Аналогично, неравенство $x_1 + x_2 + x_4 \leq 9$ и $x_2 + x_3 + x_4 \leq 7$ противоречат друг другу.

Следовательно, из этого следует, что максимум одно из неравенств $x_1 + x_2 + x_4 \leq 9$ и $x_2 + x_3 + x_4 \leq 7$ может быть выполнено, а также максимум одно из неравенств $x_1 + x_2 + x_3 \geq 12$ и $x_1 + x_3 + x_4 \leq 8$ может быть выполнено.

Рассмотрим несколько случаев:

1. Если выполнены неравенства $x_1 + x_2 + x_4 \leq 9$ и $x_2 + x_3 + x_4 \leq 7$, то из первого неравенства следует $x_1 \leq 9 - x_2 - x_4$, а из второго неравенства следует $x_3 \leq 7 - x_2 - x_4$. Подставляя эти неравенства в неравенство $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 \leq 4x_4 \leq 4 \cdot 9$, получаем $x_2 + 16x_4 \leq 43$. Максимум функции $x_2 + 16x_4$ при ограничении $x_2 + 16x_4 \leq 43$ достигается при $x_2 = 3$ и $x_4 = 2$, что дает $x_1 =