Question

Докажите,что для любого n принадлежащего к N справедливо равенство1^3 +3^3+5^3+...+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1) ..+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$1^3+3^3+5^3+...+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)$

Докажем базу индукции для $n=1$:

$1^3=1^2(2\times1^2-1)$

$1=1$, верно.

Докажем переход: предположим, что для $n=k$ выполнено:

$1^3+3^3+5^3+...+(2k-1)^3=k^2(2k^2-1)$

Тогда для $n=k+1$:

$1^3+3^3+5^3+...+(2k-1)^3+(2k+1)^3=k^2(2k^2-1)+(2k+1)^3=\\=k^2((2k+1)^2-2(k+1)^2)+(2k+1)^3=(2k+1)^2(k^2+2k+1)-2k^2(k+1)^2=\\=(2k+1)^2(k+1)^2-2k^2(k+1)^2=(k+1)^2((2k+1)^2-2k^2)=\\=(k+1)^2(2k^2+4k+1)=(k+1)^2(2(k+1)^2-1)$

Значит по принципу математической индукции выполнено равенство для любого $n\in\mathbb{N}$.

Задание выполнено!

Answer 2

Чтобы доказать данное утверждение, давайте воспользуемся математической индукцией. Мы будем предполагать, что равенство выполняется для некоторого значения n и затем покажем, что оно также выполняется для n + 1.

1. База индукции (n = 1): Для n = 1 у нас есть: \[1^3 = 1^2(2\cdot1^2 - 1)\]

Подставим значения и убедимся, что равенство выполняется: \[1 = 1(2 - 1)\] \[1 = 1\]

База индукции верна.

2. Шаг индукции: Предположим, что равенство верно для некоторого n, то есть: \[1^3 + 3^3 + 5^3 + \ldots + (2n-1)^3 = n^2(2n^2 - 1)\]

Теперь докажем, что это равенство верно для n + 1. Рассмотрим сумму до (2(n+1) - 1): \[1^3 + 3^3 + 5^3 + \ldots + (2n-1)^3 + (2(n+1) - 1)^3\]

Мы можем выделить последний слагаемый: \[n^2(2n^2 - 1) + (2(n+1) - 1)^3\]

Теперь упростим выражение: \[n^2(2n^2 - 1) + (2(n+1) - 1)^3\] \[= n^2(2n^2 - 1) + (2n + 1)^3\] \[= n^2(2n^2 - 1) + (8n^3 + 12n^2 + 6n + 1)\] \[= 2n^4 - n^2 + 8n^3 + 12n^2 + 6n + 1\] \[= 2(n+1)^2((n+1)^2 - 1)\]

Таким образом, мы получили выражение, аналогичное n^2(2n^2 - 1), но для n+1. Это завершает шаг индукции.

Таким образом, по принципу математической индукции доказано, что для любого \(n \in \mathbb{N}\) выполняется равенство: \[1^3 + 3^3 + 5^3 + \ldots + (2n-1)^3 = n^2(2n^2 - 1)\]