Question

В квадрат з вершинами (0;0),(2;0),(2;2),(0;2) навмання кинута точка (x; y). Знайти ймовірність того, що має місце нерівність 1-x^2 ≤ y ≤ 3-x

Answer 1

Ответ:

Сразу напишу решение:

Sф=ln2-ln0,5+0,5*2=2,39

Вероятность:

Sф/Sкв=2,39/4=0,5975 (или 59,75%)

Пошаговое объяснение:

Площадь квадрата 4 единицы, Вам нужно найти площадь фигуры ограниченой графиком х*у=1 или у=1/х, далее найти площадь этой фигуры и отношение площади фигуры к площади квадрата.

Answer 2

Для розв'язання даної задачі спочатку зобразимо квадрат з вершинами (0,0), (2,0), (2,2), (0,2):

З'ясуємо які значення x та y задовольняють нерівність 1-x^2 ≤ y ≤ 3-x. Для цього ми можемо провести лінії, що задають крайові значення області, яка задовольняє нерівність.

Розглянемо нерівність 1-x^2 ≤ y. Щоб зобразити цю нерівність, ми можемо знайти точки, які задовольняють рівність 1-x^2 = y. Після цього ми можемо тире з лівої сторони цієї рівності (тобто 1-x^2 < y), щоб зобразити нерівність 1-x^2 ≤ y.

1-x^2 = y означає, що y буде від 1 до 0, коли x буде від 0 до 1. Тому лінія, яка задовольняє цю рівність, буде мати нахил -1.

Розглянемо тепер нерівність y ≤ 3-x. Шляхом аналогічного розгляду ми знаходимо, що лінія, яка задовольняє цю нерівність, матиме нахил -1.

З'єднавши дві ці лінії, ми отримаємо трапецію, що обмежує область, яка задовольняє нерівність 1-x^2 ≤ y ≤ 3-x:

|\ | \ | \ -x-y | \ |____\_ _ _ _ _ _ _ _ (0,1) (2,1)

Таким чином, область, що задовольняє нерівність, - це трапеція з основами (0, 1) і (2, 1) та вершинами (0, 0) і (2, 0).

Ймовірність того, що випадкова точка (x, y) попаде в цю область, можна знайти, розділивши площу цієї області на площу всього квадрата. Площа області - площа трапеції, що дорівнює (1 + 1) * 2 / 2 = 2 квадратні одиниці. Площа всього квадрата - 2 * 2 = 4 квадратні одиниці.

Отже, ймовірність того, що точка (x, y) попаде в область, що задовольняє нерівність 1-x^2 ≤ y ≤ 3-x, дорівнює 2/4 = 1/2.