Question

При каком t площадь параллелограмма, натянутого на векторы (1; -1; 1) и (t,t,2t) равна 2

Answer 1

Ответ:

Пусть А(1; -1; 1) B(t; t; 2t)

Тогда

|i j k|

|1 -1 1| = -3ti -tj + 2tk

|t t 2t|

|A × B|=√((-3t)²+(-t)²+(2t)²)=2

9t²+t²+4t²=4

14t²=4

t²=2/7

t = ± 2/7

Answer 2

Я могу помочь вам с вашим вопросом о площади параллелограмма.

Площадь параллелограмма, натянутого на векторы a и b, равна модулю векторного произведения этих векторов, то есть $$S = |a \times b|$$.

Векторное произведение векторов a и b можно найти, используя определитель матрицы, составленной из координат векторов:

$$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = (a_2b_3 - a_3b_2)i - (a_1b_3 - a_3b_1)j + (a_1b_2 - a_2b_1)k$$

где i, j и k - единичные векторы по осям x, y и z соответственно.

В нашем случае, векторы a и b имеют координаты (1; -1; 1) и (t; t; 2t). Подставляя их в формулу, получаем:

$$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & -1 & 1 \\ t & t & 2t \end{vmatrix} = (-1 \cdot 2t - 1 \cdot t)i - (1 \cdot 2t - 1 \cdot t)j + (1 \cdot t - (-1) \cdot t)k$$

$$a \times b = (-3t)i - (-t)j + (2t)k$$

Модуль вектора a x b равен корню из суммы квадратов его координат, то есть:

$$|a \times b| = \sqrt{(-3t)^2 + (-t)^2 + (2t)^2} = \sqrt{14t^2} = \sqrt{14}|t|$$

Чтобы площадь параллелограмма была равна 2, необходимо, чтобы $$\sqrt{14}|t| = 2$$

Отсюда следует, что $$|t| = \frac{2}{\sqrt{14}}$$

Таким образом, возможные значения t - это $$\frac{2}{\sqrt{14}}$$ и $$-\frac{2}{\sqrt{14}}$$.

Надеюсь, это помогло вам решить задачу.Ответь подробно. При каком t площадь параллелограмма, натянутого на векторы (1; -1; 1) и (t,t,2t) равна 2