Question

Довести, що при будь-якому невід'ємному n число 36ⁿ + 10 · 3ⁿ кратне 11.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

А( n ) = 36ⁿ + 10 · 3ⁿ   кратне 11  при будь-якому невід'ємному цілому n .

Доведемо методом математичної індукції .

1) n = 1 ;  А( 1 ) = 36¹ + 10 · 3¹ = 66   ділиться на 11 ;

2) Припустимо , що A( k ) = 36^k + 10 · 3^k кратне 11  і доведемо , що А(k+1)    кратне  11 .  Маємо

А(k+1) = 36^( k + 1 ) + 10 * 3^( k + 1 ) = 36^k * 36 + 10 * 3^k * 3 =

         = ( 36^k + 10 · 3^k )* 36 - 33 * 10 * 3^k ;

перший вираз кратний 11  ( за умовою ) , другий вираз кратний 11 , бо

його множник кратний 11 . Отже , різниця  А(k+1) кратна 11 . Тому за

принципом математичної індукції даний вираз кратний  11 .

Answer 2

Щоб довести, що при будь-якому невід'ємному числі n число 36ⁿ + 10 · 3ⁿ є кратним 11, ми можемо скористатися індукцією.

Базовий випадок:

При n = 0, отримуємо: 36⁰ + 10 · 3⁰ = 1 + 10 · 1 = 11 Очевидно, що 11 є кратним 11.

Крок індукції:

Припустимо, що для певного невід'ємного числа k число 36ᵏ + 10 · 3ᵏ є кратним 11. Тобто, існує ціле число p, таке що: 36ᵏ + 10 · 3ᵏ = 11p

Індуктивний крок:

Розглянемо вираз для n = k + 1: 36^(k+1) + 10 · 3^(k+1) = 36 · 36^k + 10 · 3 · 3^k

Ми можемо записати 36 як 33 + 3: (33 + 3) · 36^k + 10 · 3 · 3^k

Розкриємо дужки: 33 · 36^k + 3 · 36^k + 10 · 3 · 3^k

Ми можемо спростити: 33 · 36^k + 3^2 · 3^k + 10 · 3 · 3^k

Використовуючи припущення індукції (36^k + 10 · 3^k = 11p), ми можемо замінити цей вираз: 11p + 3^2 · 3^k + 10 · 3 · 3^k

Складаємо подібні доданки: 11p + (3^2 + 10 · 3) · 3^k

Ми можемо спростити вираз у дужках: 11p + (9 + 30) · 3^k

Знаходимо суму в дужках: 11p + 39 · 3^k

Тепер ми бачимо, що отримали число, яке є кратним 11. Тобто, існує ціле число q, таке що: 11p + 39 · 3^k = 11q

Отже, ми довели, що при будь-якому невід'ємному числі n число 36ⁿ + 10 · 3ⁿ є кратним 11 за допомогою індукції.