Question

В клетках таблицы 4×4 расставлены действительные числа. В любой полоске 1×3 сумма чисел равна 11, а сумма всех чисел таблицы равна 60. Найдите сумму чисел в центральном квадрате 2×2.

Answer 1

Расставим в центральном квадрате некоторые числа x, y, z, w, сумму которых нужной найти:

$\begin{array}{cccc}*&*&*&*\\ *&x&y&*\\ *&z&w&*\\ *&*&*&*\end{array}$

Зная, что сумма чисел в любой полоске 1×3 равна 11, определяем значения реберных ячеек:

$\begin{array}{cccc}*&11-x-z&11-y-w&*\\ 11-x-y&x&y&11-x-y\\ 11-z-w&z&w&11-z-w\\ *&11-x-z&11-y-w&*\end{array}$

Заметим, что значения угловых ячеек равны между собой в силу симметрии. Находим это значение:

$11-(11-x-y)-(11-z-w)= \\ =11-11+x+y-11+z+w=x+y+z+w-11$

Получаем итоговую таблицу:

$\begin{array}{cccc}x+y+z+w-11&11-x-z&11-y-w&x+y+z+w-11\\ 11-x-y&x&y&11-x-y\\ 11-z-w&z&w&11-z-w\\ x+y+z+w-11&11-x-z&11-y-w&x+y+z+w-11\end{array}$

По условию сумма всех чисел в таблице равна 60:

$4(x+y+z+w-11)+2(11-x-y)+2(11-z-w)+ \\ +2(11-x-z)+2(11-y-w)+x+y+z+w=60$

$4x+4y+4z+4w-44+22-2x-2y+22-2z-2w+ \\ +22-2x-2z+22-2y-2w+x+y+z+w=60$

$22+22+x+y+z+w=60$

$x+y+z+w=16$

Таким образом, получена искомая сумма.

Ответ: 16

Answer 2

Предположим, что числа в таблице обозначены следующим образом:

a   b   c   d
e   f   g   h
i    j    k    l
m   n   o   p

Тогда, согласно условию, у нас есть следующие равенства: ``` a + b + c = 11 b + c + d = 11 e + f + g = 11 f + g + h = 11 i + j + k = 11 j + k + l = 11 m + n + o = 11 n + o + p = 11 ```

Также, сумма всех чисел в таблице равна 60, что можно записать в виде: ``` a + b + c + d + e + f + g + h + i + j + k + l + m + n + o + p = 60 ```

Мы можем сложить все равенства по полоскам и получить: ``` 2*(a + b + c + d + e + f + g + h + i + j + k + l + m + n + o + p) = 4*11 ``` ``` 2*60 = 44 ``` ``` 120 = 44 ``` Это противоречие, следовательно, решение задачи не существует.