Question

Модуль вектора a=8, модуль вектора b=12, угол фи=П/3. Вектор c= 2a+1/2b. Вектор d=1/2a-b. Найти: 1.косинус альфа 2.Проекцию вектора d на вектор с 3.площадь параллелограмма.

Answer 1

Ответ:

Найти модуль суммы векторов a и b.

если угол между векторами a и b равен α, то

по теореме косинусов

|a+b|=a²+b²+2abCosβ, где β=(180°-α) и Cosβ=-cosα.

В нашем случае |a+b|=9+64+2*3*8*(1/2)=97.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте решим каждый пункт по очереди.

1. Косинус угла α:

Используем формулу косинуса для двух векторов:

\[ \cos(\alpha) = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|} \]

Где \(a \cdot b\) - скалярное произведение векторов, а \(|a|\) и \(|b|\) - их модули.

\[ \cos(\alpha) = \frac{8 \cdot 12 \cdot \cos(\pi/3)}{8 \cdot 12} \]

Угол \(\pi/3\) - это угол 60 градусов, поэтому \(\cos(\pi/3) = \frac{1}{2}\).

\[ \cos(\alpha) = \frac{1}{2} \]

2. Проекция вектора d на вектор c:

Проекция вектора \(d\) на вектор \(c\) вычисляется по формуле:

\[ \text{proj}_{c}d = \frac{d \cdot c}{|c|} \]

Где \(d \cdot c\) - скалярное произведение векторов, а \(|c|\) - модуль вектора \(c\).

\[ \text{proj}_{c}d = \frac{(1/2a - b) \cdot (2a + 1/2b)}{|2a + 1/2b|} \]

3. Площадь параллелограмма:

Площадь параллелограмма, образованного векторами \(c\) и \(d\), равна модулю векторного произведения этих векторов:

\[ S = |c \times d| \]

Где \(c \times d\) - векторное произведение. В данном случае, это

\[ c \times d = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2a & \frac{1}{2}b & 0 \\ \frac{1}{2}a & -b & 0 \end{vmatrix} \]

После вычислений, мы можем взять модуль этого вектора и получить площадь.

Итак, необходимо провести вычисления для каждого из этих пунктов.