Question

Площадь прямоугольного треугольника равна 12 см. в квадрате, найди длину катетов, если один из катетов на пять см. длиннее второго.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Обозначим катеты данного прямоугольного треугольника через х и у.

Согласно условию задачи, один из катетов данного прямоугольного треугольника на 2 см больше другого, следовательно, справедливо следующее соотношение:

х = у + 2.

Также известно, что площадь данного прямоугольного треугольника равна 12 кв.см, следовательно, справедливо следующее соотношение:

х*у/2 = 12.

Решаем полученную систему уравнений. Подставляя во второе уравнение значение х = у + 2 из первого уравнения, получаем:

(у + 2 )*у/2 = 12.

Решаем полученное уравнение:

(у + 2 )*у = 12*2;

у^2 + 2 *у = 24;

у^2 + 2*у - 24 = 0.

Корни данного квадратного уравнения угадываются с помощью теоремы Виета. Их сумма должна быть равна -2, а произведение должно быть равно -24. Таким числами являются 4 и -6.

Поскольку длина катета - величина положительное, то значение -6 не подходит. Следовательно:

у = 4.

Зная у, находим х:

х = у + 2 = 4 + 2 = 6.

Answer 2

Давайте обозначим длину катетов прямоугольного треугольника буквами \(a\) и \(b\), где \(a\) - это длина катета, который на 5 см длиннее второго катета \(b\).

Мы знаем, что площадь прямоугольного треугольника выражается формулой:

\[S = \frac{1}{2}ab\]

где \(S\) - это площадь треугольника. В данном случае \(S = 12 \, \text{см}^2\). Подставим известные значения:

\[12 = \frac{1}{2}ab\]

Теперь у нас есть уравнение, которое связывает длины катетов и площадь треугольника.

Также у нас есть информация о том, что один катет на 5 см длиннее второго. Мы можем выразить это в виде уравнения:

\[a = b + 5\]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[\begin{cases} 12 = \frac{1}{2}ab \\ a = b + 5 \end{cases}\]

Решим эту систему уравнений. Для этого подставим выражение \(a = b + 5\) в первое уравнение:

\[12 = \frac{1}{2}(b + 5)b\]

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[24 = (b + 5)b\]

Раскроем скобки:

\[24 = b^2 + 5b\]

Получившееся квадратное уравнение можно решить различными методами, например, используя квадратное уравнение или факторизацию. Я воспользуюсь методом факторизации:

\[b^2 + 5b - 24 = 0\]

\[(b + 8)(b - 3) = 0\]

Отсюда получаем два возможных значения \(b\):

1. \(b + 8 = 0 \Rightarrow b = -8\) (отрицательное значение не имеет физического смысла в данном контексте). 2. \(b - 3 = 0 \Rightarrow b = 3\)

Таким образом, один из катетов равен 3 см. Теперь мы можем найти длину другого катета, используя уравнение \(a = b + 5\):

\[a = 3 + 5 = 8\]

Таким образом, длина катетов прямоугольного треугольника равна 3 см и 8 см.