Question

Найдите количество целых решений уравнения √5x+√5y=√260 . Напомним, что решением данного уравнения будет являться пара чисел (x;y).

Answer 1

Ответ:

130

Пошаговое объяснение:

$\sqrt{5x} + \sqrt{5y} = \sqrt{260} \\ 5x = 260 - 5y \\ x = 130 - y \\ x + y = 130$

Не ручаюсь за правильность.

Answer 2

Для нахождения целых решений уравнения \( \sqrt{5x} + \sqrt{5y} = \sqrt{260} \), давайте преобразуем его.

1. Возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

\[ 5x + 2\sqrt{5xy} + 5y = 260 \]

2. Теперь выразим \(\sqrt{5xy}\):

\[ 2\sqrt{5xy} = 260 - 5x - 5y \]

\[ \sqrt{5xy} = \frac{260 - 5x - 5y}{2} \]

3. Возведем обе стороны в квадрат снова:

\[ 5xy = \left(\frac{260 - 5x - 5y}{2}\right)^2 \]

\[ 5xy = \frac{(260 - 5x - 5y)^2}{4} \]

4. Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

\[ 20xy = (260 - 5x - 5y)^2 \]

5. Раскроем квадрат:

\[ 20xy = 67600 - 2 \cdot 260 \cdot (5x + 5y) + 25 \cdot (5x + 5y)^2 \]

\[ 20xy = 67600 - 2600 \cdot (5x + 5y) + 25 \cdot (25x^2 + 2 \cdot 5x \cdot 5y + 25y^2) \]

\[ 20xy = 67600 - 13000 \cdot (x + y) + 25 \cdot (25x^2 + 10xy + 25y^2) \]

6. Упростим уравнение:

\[ 500xy = 16900 - 13000 \cdot (x + y) + 25x^2 + 10xy + 25y^2 \]

\[ 490xy - 13000x - 13000y = 16900 + 25x^2 + 25y^2 \]

\[ 25x^2 + 490xy - 13000x + 25y^2 - 13000y = 16900 \]

7. Поскольку мы ищем целые решения, рассмотрим это уравнение как квадратное по \(x\):

\[ 25x^2 - 13000x + 490xy + 25y^2 - 13000y = 16900 \]

Это уравнение может быть решено методом квадратного трехчлена. Однако, ясно, что \(x\) и \(y\) будут взаимозависимыми. Если найдем одну переменную, мы сможем найти и вторую.

8. Попробуем решить для \(x\):

\[ 25x^2 - 13000x + 490xy + 25y^2 - 13000y = 16900 \]

\[ 25x^2 - 13000x + 490xy + 25y^2 - 13000y - 16900 = 0 \]

Теперь рассмотрим это как квадратное уравнение по \(x\). Дискриминант \(\Delta\) должен быть полным квадратом, чтобы у нас были целые корни:

\[ \Delta = 13000^2 - 4 \cdot 25 \cdot (490xy + 25y^2 - 13000y - 16900) \]

Если \(\Delta\) — полный квадрат, у нас есть целые корни.

Давайте попробуем решить это уравнение, чтобы найти условия для целых решений.