Question

На стороне AD прямоугольника ABCD отмечена точка E. На отрезке EC нашлась такая точка M, что AB=BM, AE=EM. Найдите длину стороны BC, если известно, что ED=16, CD=12.

Answer 1

Ответ:

ВС =20 ед.

Пошаговое объяснение:

На стороне AD прямоугольника ABCD  отмечена точка Е. На отрезке ЕС нашлась такая точка М, что АВ = ВМ , АЕ= ЕМ . Найти  длину стороны ВС , если известно что ЕD =16, СD  =12  .

Так как ABCD - прямоугольник, то противолежащие стороны параллельны и равны .

АВ = СD  =12,  AD=ВС.

По условию АВ = ВМ, тогда ВМ =12 ед.

Рассмотрим ΔCDЕ -прямоугольный и найдем гипотенузу СЕ по теореме Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

$CE^{2} =ED^{2} +CD^{2};\\CE =\sqrt{ED^{2} +CD^{2}} ;\\CE =\sqrt{16^{2} 12^{2} } =\sqrt{256+144} =\sqrt{400} =20$

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Обозначим ∠СЕD=α

$\cos\alpha =\dfrac{ED}{EC } ;\\\\\cos\alpha =\dfrac{16}{20 } =\dfrac{4}{5} =0,8$

∠СЕD=∠ВCE как накрест лежащие, образованные ВС ║АD и секущей СЕ.

∠ВCE=α

Пусть МС = х ед. Тогда МЕ =(20-х) ед.  АЕ = МЕ =(20-х) ед. по условию. АD= АЕ+ЕD=20-х+16=36-х.

Рассмотрим ΔВМС , ВМ =12, СМ =х , ВС =АD=36-х.

Применим теорему косинусов: квадрат любой стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

$BM^{2} =MC^{2} +BC^{2} -2\cdot MC\cdot BC \cdot cos \alpha ;\\12^{2} =x^{2} +(36-x)^{2} -2\cdot x \cdot (36-x)\cdot 0,8;\\x^{2} +36^{2} -72x+x^{2} -1,6x\cdot(36-x)=144;\\x^{2} +1296-72x+x^{2} -57,6x+1,6x^{2} -144=0;\\3,6x^{2} -129,6x +1152=0|\cdot5 ;\\18x^{2} -648x +5760=0|:2;\\9x^{2} -324x+2880=0|:9;\\ x^{2} -36x +320=0;\\D= (36)^{2} -4\cdot1\cdot 320=1296-1280 =16=4^{2} ;\\\\x{_1}= \dfrac{36-4}{2} =\dfrac{32}{2} =16;\\\\x{_2}= \dfrac{36+4}{2} =\dfrac{40}{2} =20$

Если х =20, то СМ = 20. Тогда ЕМ = 0, что невозможно.

Тогда х=16 , СМ =16 ед.   ВС = 36-х =36-16=20 ед.

#SPJ3