Question

Розв'язати систему рівнянь {x^2+xy=10;xy+y^2=15}

Answer 1

Ответ:  у₁₂=±3  ;   х=±2.

Пошаговое объяснение:

{х(х+у)=10   (1)

{у(у+х)=15   (2).

Поделим (1) на (2)

х/у=10/15

х/у=2/3

х=2у/3.

Подставим значение х во (2) уравнение.

у²+2у*у/3=15

у²+2у²/3=15

Приведем к знаменателю 3.

3у²+2у²=3*15

5у²=45

у²=9.

у=±3.

х₁=2*3/3=2.

х₂=2*(-3)/3=-2.

Answer 2

Давайте розв'яжемо систему рівнянь \(x^2 + xy = 10\) і \(xy + y^2 = 15\).

Щоб знайти значення \(x\) та \(y\), спробуємо використати метод підстановки. Спочатку виразимо \(x\) з першого рівняння.

1. \(x^2 + xy = 10\)

Розкладемо \(x^2 + xy\) у виразі, щоб виділити \(x\): \[x^2 + xy = x(x + y) = 10\]

Тепер, ми можемо виразити \(x\) з цього рівняння: \(x = \frac{10}{x + y}\).

2. Заміна у другому рівнянні:

Підставимо \(x\) з першого рівняння в друге: \[xy + y^2 = 15\] \[\frac{10y}{x + y} + y^2 = 15\] Перепишемо це рівняння у більш зручному вигляді: \[10y + y^2(x + y) = 15(x + y)\]

Тепер виразимо \(y\) через \(x\): \[10y = 15(x + y) - y^2(x + y)\] \[10y = 15x + 15y - xy^2 - y^3\] \[10y - 15y = 15x - xy^2 - y^3\] \[-5y = 15x - xy^2 - y^3\] \[5y = xy^2 + y^3 - 15x\] \[y(5 - y^2) = x(y - 15)\]

Тепер у нас є система двох рівнянь:

1. \(x = \frac{10}{x + y}\) 2. \(y(5 - y^2) = x(y - 15)\)

Ця система є дещо складною для прямого розв'язання. Ми можемо використати ітеративний метод для знаходження наближених значень \(x\) та \(y\).

Також, можна використати чисельні методи, такі як метод Ньютона, щоб знайти корені цієї системи рівнянь.

Якщо у вас є можливість використовувати програмне забезпечення для обчислень, це може значно спростити процес знаходження числових значень \(x\) та \(y\).