Question

В кондитерском магазине продавщица выложила на прилавок в ряд 91 конфету нескольких сортов. Оказалось, что между каждыми двумя конфетами одного сорта лежит четное число конфет. Какое наименьшее число сортов могло быть?

Answer 1

Ответ: наименьшее число сортов могло быть 4

Answer 2

Давайте рассмотрим эту задачу более подробно. Пусть \( n \) - это наименьшее количество сортов конфет, которые могли бы быть выложены на прилавок. Количество конфет каждого сорта будет обозначаться как \( a_1, a_2, \ldots, a_n \). Мы знаем, что между каждыми двумя конфетами одного сорта лежит четное количество конфет.

Для каждого сорта конфет количество четных чисел между ними равно \( a_i - 1 \), потому что одна конфета уже лежит на прилавке. Таким образом, сумма четных чисел между всеми парами конфет одного сорта равна:

\[ \sum_{i=1}^{n} (a_i - 1) \]

Также известно, что общее количество конфет равно 91:

\[ \sum_{i=1}^{n} a_i = 91 \]

Теперь давайте попробуем найти минимальное значение \( n \) среди возможных вариантов.

Рассмотрим пример, где у нас есть только один сорт конфет. Тогда у нас есть только одна сумма:

\[ \sum_{i=1}^{1} (a_i - 1) = a_1 - 1 \]

Так как \( a_1 - 1 \) должно делиться на 2 (чтобы получить четное число), \( a_1 \) должно быть нечетным. При этом минимальное значение \( a_1 \) - 3, так что \( n = 1 \) не подходит.

Теперь рассмотрим случай, где у нас два сорта конфет (\( n = 2 \)):

\[ (a_1 - 1) + (a_2 - 1) = a_1 + a_2 - 2 \]

Из условия общего количества конфет \( \sum_{i=1}^{2} a_i = 91 \) следует, что \( a_1 + a_2 = 93 \). Подставим это в выражение для суммы четных чисел:

\[ 93 - 2 = 91 \]

Таким образом, при \( n = 2 \) условие выполняется.

Минимальное значение \( n \) равно 2, и, следовательно, наименьшее количество сортов конфет, которое могло бы быть, равно 2.