Question

Два кути паралелограма відносяться як 1:5. Знайдіть кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини тупого кута​

Answer 1

Ответ:      ∠MBN =  30° .

Пошаговое объяснение:

У пар-мі ABCD  BM  i  BN - висоти .

Нехай   ∠A = x° , тоді ∠В = 5х° .

Рівняння :  х + 5х = 180° ;

   6х = 180° ;

     х = 30° ;        ∠А = ∠С = 30° , а ∠B = ∠D = 5x = 5*30° = 150° .

У 4 - кутнику  МВND   шуканий   ∠MBN = 360° - (∠BMD + ∠BND + ∠D ) =

 = 360° - ( 2*90° + 150° ) = 360° - 330° =  30° ;       ∠MBN =  30° .

Answer 2

Для розв'язання цього завдання важливо використовувати властивості паралелограмів та відношення між висотами.

Припустимо, у нас є два паралелограма, і відношення їхніх кутів дорівнює 1:5. Позначимо кути одного паралелограма через \( \alpha, \beta, \gamma, \delta \), а кути другого паралелограма через \( \alpha', \beta', \gamma', \delta' \). За умовою завдання відомо, що відношення між кутами одного паралелограма та кутами іншого дорівнює 1:5, тобто:

\[ \frac{\alpha}{\alpha'} = \frac{\beta}{\beta'} = \frac{\gamma}{\gamma'} = \frac{\delta}{\delta'} = 1:5. \]

Зокрема, ми звертаємо увагу на тупий кут паралелограма, який відповідає куту \( \gamma \). Це важливо, оскільки будемо шукати кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини цього тупого кута.

Тепер розглянемо властивості паралелограма щодо його діагоналей та висот. В паралелограмі діагоналі поділяють одна одну навпіл, і вони перпендикулярні одна до одної. Також висота, проведена з вершини тупого кута, є прямою лінією, яка проходить через середину діагоналі.

Ось креслення, щоб краще зрозуміти:

      A-----------B
     /           /
    /           /
   /           /
  /           /
 D-----------C

Позначимо центр діагоналі \(AC\) як точку \(O\). Тоді висота, проведена з вершини тупого кута \(B\), буде проходити через центр \(O\) і ділити паралелограм на дві рівні частини.

Також зазначимо кути між діагоналями і кут між висотами паралелограма:

- \(\angle AOC\) - кут між діагоналями, - \(\angle BOE\) - кут між висотами паралелограма.

Оскільки діагоналі поділяються навпіл, то \(\angle AOC\) буде рівний 180 градусів. Тепер розглянемо трикутник \(BOE\). У цьому трикутнику відомі два кути: \(\angle BOE\) і \(\angle BEO\), а також відомо, що сума всіх кутів у трикутнику дорівнює 180 градусів.

Отже, можемо записати:

\[ \angle BOE + \angle BEO + \angle AOC = 180^\circ. \]

Але, як вже зазначалося, \(\angle AOC\) дорівнює 180 градусів, тому:

\[ \angle BOE + \angle BEO + 180^\circ = 180^\circ. \]

Спростимо це рівняння:

\[ \angle BOE + \angle BEO = 0. \]

Таким чином, отримали, що сума кутів \(\angle BOE\) і \(\angle BEO\) дорівнює нулю. Це можливо лише в тому випадку, якщо обидва ці кути дорівнюють нулю (тобто вони обидва рівні 0 градусів).

Отже, ми приходимо до висновку, що кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини тупого кута, дорівнює 0 градусів.