Question

Плоскость α проходит через прямую a и пересекает плоскость β по прямой b так, что прямые a и b не пересекаются. Выясните взаимное расположение прямой a и плоскости β. (Выполнить подробное решение).

Answer 1

Ответ:а||В

Пошаговое объяснение:поскольку А проходит через а и пересекает В по в и а не пересекает в, то а||в. Поскольку А пересекает В лишь по одной прямой, значит, А и В не совпадают. Поскольку В проходит по в, параллельной а, значит, а||В.

Answer 2

Пусть плоскость α имеет уравнение Ax + By + Cz + D = 0, прямая a имеет параметрическое уравнение x = x₁ + at, y = y₁ + bt, z = z₁ + ct, а плоскость β имеет уравнение Ex + Fy + Gz + H = 0.

Так как прямые a и b не пересекаются, уравнение прямой b будет иметь вид x = x₂ + bs, y = y₂ + bt, z = z₂ + bu, где x₁, y₁, z₁ - координаты точки, через которую проходит прямая a, x₂, y₂, z₂ - координаты точки пересечения прямой a с плоскостью β, a, b, c - параметры направляющего вектора прямой a, b, s, u - параметры направляющего вектора прямой b.

Так как прямая b лежит в плоскости β, подставим ее уравнение в уравнение плоскости β:

E(x₂ + bs) + F(y₂ + bt) + G(z₂ + bu) + H = 0.

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

Ex₂ + Ebs + Fy₂ + Fbt + Gz₂ + Gbu + H = 0.

Учитывая, что прямая a лежит в плоскости α, подставим ее уравнение в уравнение плоскости α:

A(x₁ + at) + B(y₁ + bt) + C(z₁ + ct) + D = 0.

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

Ax₁ + Aat + By₁ + Bbt + Cz₁ + Cct + D = 0.

Таким образом, у нас получились два уравнения: одно связывает координаты точек прямой a и параметры a, b, c, а другое связывает координаты точек прямой b и параметры b, s, u.

Чтобы определить взаимное расположение прямой a и плоскости β, нужно решить систему из трех уравнений:

Ex₂ + Ebs + Fy₂ + Fbt + Gz₂ + Gbu + H = 0, Ax₁ + Aat + By₁ + Bbt + Cz₁ + Cct + D = 0, E(x₂ + bs) + F(y₂ + bt) + G(z₂ + bu) + H = 0.

При решении этой системы мы найдем значения параметров a, b, c, s, u, а также координаты точек x₁, y₁, z₁ и x₂, y₂, z₂.

Если система имеет одно решение, то прямая a пересекает плоскость β.

Если система не имеет решений, то прямая a параллельна плоскости β.

Если система имеет бесконечное число решений, то прямая a лежит в плоскости β.