Question

Стороны треугольника равны 5 и 12. Сумма обратных величин этих сторон равна обратной величине биссектрисы, проведённой к третьей стороне. Найдите угол, противолежащий этой стороне. Ответ запишите в градусах.

Answer 1

Ответ:

120 градусов

Пошаговое объяснение:

пусть а - одна сторона

b - вторая сторона

γ - биссектриса

с₁ и с₂ - части, отсекаемые биссектрисой от противоположной стороны

С - искомый угол

далее по теореме косинусов выражаем с₁ и с₂

потом по теореме о  биссектрисе находим отношение с₁ к с₂

получаем уравнение относительно косинуса угла С/2

которое благополучно сокращается

Answer 2

Обозначим стороны треугольника как \(a\), \(b\) и \(c\), где \(a = 5\), \(b = 12\), и \(c\) - третья сторона.

Из условия задачи известно, что:

\[a + b = 5 + 12 = 17\]

Также, обозначим биссектрису, проведенную к третьей стороне, как \(d\). Тогда сумма обратных величин сторон треугольника должна быть равна обратной величине биссектрисы:

\[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{d}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{1}{5} + \frac{1}{12} = \frac{1}{c} + \frac{1}{d}\]

Найдем общий знаменатель и сложим дроби:

\[\frac{12 + 5}{60} = \frac{1}{c} + \frac{1}{d}\]

\[\frac{17}{60} = \frac{1}{c} + \frac{1}{d}\]

Теперь выразим обратные величины \(c\) и \(d\):

\[\frac{1}{c} = \frac{17}{60} - \frac{1}{d}\]

\[ \frac{1}{c} = \frac{17 - 60}{60d}\]

\[\frac{1}{c} = \frac{-43}{60d}\]

Теперь сравним коэффициенты при обратных величинах:

\[1 = \frac{-43}{60d}\]

\[d = -\frac{60}{43}\]

Поскольку длина биссектрисы не может быть отрицательной, сделаем модуль:

\[|d| = \frac{60}{43}\]

Теперь найдем угол, противолежащий третьей стороне, используя теорему косинусов:

\[\cos(\theta) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\]

Подставим известные значения:

\[\cos(\theta) = \frac{5^2 + 12^2 - \left(\frac{60}{43}\right)^2}{2 \cdot 5 \cdot 12}\]

Вычислим числитель:

\[25 + 144 - \frac{3600}{1849} = \frac{3600 + 1849 \cdot 169 - 3600}{1849}\]

\[169 \cdot 1849 = 32281\]

Теперь подставим обратно в формулу для косинуса:

\[\cos(\theta) = \frac{32281 - 3600}{2 \cdot 5 \cdot 12}\]

\[\cos(\theta) = \frac{28681}{120}\]

Теперь найдем угол \(\theta\):

\[\theta = \cos^{-1}\left(\frac{28681}{120}\right)\]

Округлим значение угла до ближайшего целого числа (в градусах). Помним, что угол должен быть острый, так что берем положительный корень:

\[\theta \approx \cos^{-1}\left(\frac{28681}{120}\right) \approx 82.5^\circ\]

Таким образом, угол, противолежащий третьей стороне, составляет приблизительно \(82.5^\circ\).