Question

1/3-3/5+5/7-7/9+...+13/15=

Answer 1

Ответ:

Вроде бы выглядит вот так: 1*5*7

Answer 2

Для решения данной суммы, давайте разберемся с каждым слагаемым:

\[ \frac{1}{3} - \frac{3}{5} + \frac{5}{7} - \frac{7}{9} + \ldots + \frac{13}{15} \]

Мы видим, что знаменатель у каждого слагаемого представляет собой арифметическую последовательность 3, 5, 7, 9, ..., 15 (разность между элементами равна 2).

Сначала давайте найдем общий знаменатель для удобства сложения. Общий знаменатель будет произведением всех различных простых чисел, входящих в знаменатели. В данном случае это будет \(3 \times 5 \times 7 \times 9 \times 11 \times 13 \times 15\). Однако, заметим, что 9 делится на 3, поэтому общий знаменатель можно упростить до \(5 \times 7 \times 9 \times 11 \times 13 \times 15\).

Теперь приведем все слагаемые к общему знаменателю:

\[ \frac{1}{3} \cdot \frac{5 \times 7 \times 9 \times 11 \times 13 \times 15}{5 \times 7 \times 9 \times 11 \times 13 \times 15} - \frac{3}{5} \cdot \frac{5 \times 7 \times 9 \times 11 \times 13 \times 15}{5 \times 7 \times 9 \times 11 \times 13 \times 15} + \ldots + \frac{13}{15} \cdot \frac{5 \times 7 \times 9 \times 11 \times 13 \times 15}{5 \times 7 \times 9 \times 11 \times 13 \times 15} \]

Теперь сложим числители и получим один общий числитель:

\[ 1 \cdot (5 \times 7 \times 9 \times 11 \times 13 \times 15) - 3 \cdot (5 \times 7 \times 9 \times 11 \times 13 \times 15) + 5 \cdot (5 \times 7 \times 9 \times 11 \times 13 \times 15) - \ldots + 13 \cdot (5 \times 7 \times 9 \times 11 \times 13 \times 15) \]

Теперь сложим все эти числители и подставим результат в общий знаменатель:

\[ \frac{(1 - 3 + 5 - \ldots + 13) \times (5 \times 7 \times 9 \times 11 \times 13 \times 15)}{5 \times 7 \times 9 \times 11 \times 13 \times 15} \]

Теперь у нас есть общий числитель и общий знаменатель. Мы видим, что в числителе у нас арифметическая прогрессия, поэтому можем воспользоваться формулой суммы арифметической прогрессии:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]

где \( S_n \) - сумма первых \( n \) членов прогрессии, \( a_1 \) - первый член прогрессии, \( a_n \) - последний член прогрессии.

В нашем случае первый член \( a_1 = 1 \), последний член \( a_n = 13 \), а количество членов \( n \) можно найти, поделив разность последнего и первого членов на шаг прогрессии (в данном случае шаг равен 2):

\[ n = \frac{a_n - a_1}{2} + 1 = \frac{13 - 1}{2} + 1 = 7 \]

Теперь мы можем вычислить сумму числителя:

\[ S_n = \frac{7}{2} \cdot (1 + 13) = \frac{7}{2} \cdot 14 = 49 \]

Подставим это значение в нашу исходную формулу:

\[ \frac{(1 - 3 + 5 - \ldots + 13) \times (5 \times 7 \times 9 \times 11 \times 13 \times 15)}{5 \times 7 \times 9 \times 11 \times 13 \times 15} = \frac{49}{1} = 49 \]

Итак, сумма данного ряда равна 49.