Question

Прямые l:y=kx+b, l1:y=k1x+b1 и l2:y=k2x+b2 касаются гиперболы y = 1/x. Известно что b=b1+b2. Докажите что k>= 2(k1+k2)

Answer 1

Ответ:

b3...................

Answer 2

Для начала заметим, что гипербола y = 1/x имеет вертикальные асимптоты x = 0, то есть прямые l1 и l2 должны быть вертикальными. Тогда k1 и k2 равны бесконечности.

Запишем уравнение прямой l1 в виде y = k1x + b1, а прямой l2 в виде y = k2x + b2.

Так как прямые l1 и l2 являются вертикальными, их уравнения можно записать в следующем виде:

l1: x = x1 (вертикальная прямая через точку (x1, 0)) l2: x = x2 (вертикальная прямая через точку (x2, 0))

Также известно, что b = b1 + b2.

Так как гипербола касается прямых l1 и l2, то уравнение гиперболы можно записать в точках касания l1 и l2:

y = k1x + b1 (точка на прямой l1) y = k2x + b2 (точка на прямой l2)

Подставим x = x1 в уравнение гиперболы:

y = k1 * x1 + b1

Поскольку точка (x1, 0) лежит на прямой l1, получаем:

0 = k1 * x1 + b1

Тогда x1 = -b1 / k1.

Аналогично, подставим x = x2 в уравнение гиперболы:

y = k2 * x2 + b2

Поскольку точка (x2, 0) лежит на прямой l2, получаем:

0 = k2 * x2 + b2

Тогда x2 = -b2 / k2.

Таким образом, x1 = -b1 / k1 и x2 = -b2 / k2.

Заметим, что прямые l1 и l2 также являются касательными прямыми к гиперболе y = 1/x:

l1: y = k1 * x + b1 = k1 * (-b1 / k1) + b1 = b1

l2: y = k2 * x + b2 = k2 * (-b2 / k2) + b2 = b2

То есть координаты точек касания прямых l1 и l2 с гиперболой равны (x1, b1) и (x2, b2) соответственно.

Таким образом, условие b = b1 + b2 превращается в b = b1 + b2 = b1 + b.

Отсюда следует, что b1 = 0.

Таким образом, с учетом b1 = 0 получаем x1 = -b1 / k1 = 0.

Итак, мы получаем, что x1 = 0 и b1 = 0.

Теперь рассмотрим уравнение прямой l2:

l2: x = x2 = -b2 / k2

Разделим оба выражения на x2 = -b2 / k2 и получим:

1 = -b2 / (x2 * k2)

1 = -k2 / b2

Следовательно, k2 = -b2.

Теперь заменим k2 на -b2 в уравнении прямой l2 и получим:

y = -b2 * x + b2

Таким образом, получаем новое выражение для l2: y = -b2 * x + b2.

Так как гипербола y = 1/x касается прямой l2, точка касания лежит на прямой l2:

y = -b2 * x + b2

Подставим x = x2 = -b2 / k2:

y = -b2 * (-b2 / k2) + b2 = b2 + b2 = 2b2

То есть точка касания (x2, b2) имеет координаты (x2, 2b2).

Теперь сравним координаты точек касания прямых l1 и l2 с гиперболой:

Точка касания l1: (x1, b1) = (0, 0) Точка касания l2: (x2, b2) = (x2, 2b2)

Так как гипербола является функцией y = 1/x, то касательная к гиперболе является производной функции.

Получаем, что k1 = -1/(x1)^2 и k2 = -2/(x2)^2.

Теперь подставим x1 = 0 и x2 = x2 в неравенство k >= 2(k1 + k2) и получим:

k >= 2(-1/(x1)^2 - 2/(x2)^2) = 2(0 - 2/(x2)^2) = -4/(x2)^2

Поскольку x2 = -b2 / k2, то k2 = -b2 / x2 и можно записать:

k >= -4/(x2)^2 = -4/((-b2 / k2)^2) = -4/(b2^2 / k2^2) = -4 * k2^2 / b2^2

И так как k2 = -b2, то можно записать:

k >= -4 * (-b2)^2 / b2^2 = -4 * b2^2 / b2^2 = -4

Таким образом, получаем неравенство k >= -4.

Итак, мы доказали, что k >= -4, что является важным условием для касания прямых l1, l2 с гиперболой y = 1/x при условии b = b1 + b2.