Question

(x+3)^4+(x+5)^4=16 решить заменой

Answer 1

Ответ:

(x+3)^4+(x+5)^4=16

(X+3)^4+(X+3)^4+16=16

(X+3)=t

t^4+t^4+16=16

2t^4=0

t^4=0

t=0

X+3=0

X= -3

Ответ: X= -3

Answer 2

Давайте решим уравнение \((x + 3)^4 + (x + 5)^4 = 16\) с помощью замены. Для удобства давайте введем новую переменную, скажем, \(u = x + 4\). Тогда \(x = u - 4\).

Теперь мы можем заменить \(x\) в исходном уравнении:

\((u - 1)^4 + (u + 1)^4 = 16\)

Раскроем скобки и упростим:

\((u^4 - 4u^3 + 6u^2 - 4u + 1) + (u^4 + 4u^3 + 6u^2 + 4u + 1) = 16\)

Сложим подобные члены:

\(2u^4 + 12u^2 + 2 = 16\)

Выразим уравнение в канонической форме:

\(2u^4 + 12u^2 - 14 = 0\)

Разделим обе стороны на 2:

\(u^4 + 6u^2 - 7 = 0\)

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно \(u^2\):

\((u^2 + 7)(u^2 - 1) = 0\)

Решим оба уравнения:

1. \(u^2 + 7 = 0\)

Это уравнение не имеет действительных корней, так как \(u^2\) не может быть отрицательным.

2. \(u^2 - 1 = 0\)

Это уравнение имеет два корня: \(u = 1\) и \(u = -1\).

Теперь вернемся к исходной переменной \(x\):

1. \(u = 1\): \(x + 4 = 1\) \(\Rightarrow x = -3\)

2. \(u = -1\): \(x + 4 = -1\) \(\Rightarrow x = -5\)

Таким образом, уравнение \((x + 3)^4 + (x + 5)^4 = 16\) имеет два решения: \(x = -3\) и \(x = -5\).