Question

а) На какое наибольшее число прямоугольников одинаковой площади можно разрезать шахматную доску если среди прямоугольников есть неравные? б) На какое наибольшее число прямоугольников одинакового периметра можно разрезать шахматную доску если среди прямоугольников есть неравные?

Answer 1

Ответ:

а) На 16 прямоугольников из которых будут в любых сочетаниях штук:

- квадрат 2х2

- прямоугольник 4х1

б) на 21 прямоугольник, из которых

- 1 квадрат 2х2,

- остальные 20 прямоугольников 3х1.

Пошаговое объяснение:

Для решения будем исходить из следующей предпосылки:

- доска является квадратом и разбита на 64 малых квадрата (8 на 8 клеток)

- минимальная единица размера/площади равна 1 шахматной улетке

- цвет клетки значения не имеет и квадрат белого цвета считается одинаковым по сравнению с черным квадратом

а) Очевидно, что число прямоугольников будет равно

N = 64 : S,

где S - площадь каждого прямоугольника.

Так как в условии прямо указано, что есть неравные прямоугольники - следовательно квадрат 1х1 с площадью 1 не подходит - у него нет различных вариаций.

Очевидно, что прямоугольники площадью 2, 3 клетки тоже имеют только один формат: 2х1 и 3х1 соответственно - не подходит (прямоугольник площадью 3 еще и потому, что 64 не делится нацело на 3)

Так что ближайшее подходящее - это прямоугольник площадью 4 который имеет различные формы:

- квадрат 2х2

- прямоугольник 4х1

И значит, такие прямоугольники нам подходят. А их число будет равно

N = 64 : 4 = 16 шт.

Вариантов разрезки - множество. Один для примера:

Отрезать сверху доски полоску длиной 8 шириной 2 клетки. Далее полоску разрезать на 4 квадрата 2х2. Оставшуюся доску (8х6) разрезать на шесть полос 8х1. Каждую полосу - пополам: получим 12 прямоугольников 4х1.

Получим 4 квадрата 2х2 плюс 12 прямоугольников 4х1 = 16 фигур

б) Периметр равен удвоенной сумме длин сторон прямоугольника:

Р = 2•(a+b)

Так как в условии прямо указано, что есть неравные прямоугольники - следовательно квадрат 1х1 с периметром 4 не подходит - у него нет различных вариаций.

Очевидно, что прямоугольник 2х1 клетки тоже имеет только один формат, соответственно - не подходит

Ближайший подходящий периметр равен 8: он у прямоугольника 3х1 и квадрата 2х2

P(3x1) = P(2x2) = 2•(3+1)=2•(2+2) = 8

Следовательно, это и есть подходящая нам вариация.

Следует учесть, что прямоугольники имеют разную площадь

S(3x1) = 3

S(2x2)= 4

Следовательно, прямоугольников 3х1 должно быть максимальное число: так как на 3 оно нацело не делится, попробуем разбивку 1 квадрат 2х2 и остальные 3х1. Тогда прямоугольников 3х1 должно быть

(64 - 4) : 3 = 60 : 3 = 20 шт.

Итого будет 21 прямоугольник, из которых

- 1 квадрат 2х2,

- остальные 20 прямоугольников 3х1.

Вариант разбивки:

Вырезаем полосу 8х2, как в задании (а).

Отрезаем от нее квадрат 2х2, остаток отрезанного (это прямоугольник 6х2) режем на 4 полоски 3х1.

Оставшуюся часть доски (8х6) режем на 2 части 8х3. Каждую из этих частей режем на восемь вертикальных полоски 3х1

Итого 1 (2х2) + 4 полоски 3х1 + 2•8 полосок 3х1

Всего 1 + 4 + 8 + 8 = 21 прямоугольник.

Answer 2

Давайте разберемся с каждым из вопросов.

а) На какое наибольшее число прямоугольников одинаковой площади можно разрезать шахматную доску, если среди прямоугольников есть неравные?

Если мы разрезаем шахматную доску на прямоугольники, у которых площади могут быть разными, то максимальное количество прямоугольников будет достигаться, когда мы используем минимальные возможные площади для каждого прямоугольника.

Пусть \(a\) и \(b\) - стороны прямоугольника, и его площадь \(S = a \cdot b\). Поскольку \(a\) и \(b\) - целые числа, чтобы минимизировать площадь, мы должны выбрать минимальные значения для \(a\) и \(b\).

На шахматной доске есть 8x8 = 64 квадрата. Пусть \(n\) - количество прямоугольников. Тогда:

\[a \cdot b \cdot n = 64\]

Максимальное количество прямоугольников будет достигаться, когда \(a\) и \(b\) минимальны. Например, \(a = 1\) и \(b = 64\) или \(a = 2\) и \(b = 32\). Таким образом, максимальное количество прямоугольников будет равно 64.

б) На какое наибольшее число прямоугольников одинакового периметра можно разрезать шахматную доску, если среди прямоугольников есть неравные?

Периметр прямоугольника равен \(P = 2a + 2b\), где \(a\) и \(b\) - его стороны.

Аналогично предыдущему случаю, мы хотим максимизировать количество прямоугольников, используя минимальные значения для \(a\) и \(b\), чтобы периметр был минимален.

Итак, опять же, на шахматной доске 64 квадрата. Пусть \(n\) - количество прямоугольников. Тогда:

\[2a + 2b \cdot n = P\]

Максимальное количество прямоугольников будет достигаться, когда \(a\) и \(b\) минимальны. Например, \(a = 1\) и \(b = 31\), или \(a = 2\) и \(b = 30\). Таким образом, максимальное количество прямоугольников будет равно 64.

Обратите внимание, что эти ответы предполагают, что прямоугольники могут быть накладываться друг на друга, и они не обязательно должны быть расположены параллельно к сторонам доски.