Question

Даю 20балів: Розвязати р-ння 1) ^x+6-^x-2=2 ^-під коренем

Answer 1

Ответ на файле, прикреплённом ниже.

Answer 2

Розглянемо рівняння: ^(x+6) - ^(x-2) = 2+^(-під коренем)

Почнемо з пояснення понять. Знак "^" позначає піднесення до степеня, тобто ^(a) означає "a піднесене до степеня".

Тепер розглянемо праву частину рівняння. "2+^(-під коренем)" - це числове значення, тому підносити щось до степеня тут не треба. Отже, нехай "2+^(-під коренем)" = k, тоді рівняння можна записати у вигляді: ^(x+6) - ^(x-2) = k

Залишається розв'язати рівняння для конкретного значення k. Для цього ми використовуємо методи алгебри, зокрема властивості піднесення до степеня та рівняння з коренем.

Детальніше процес розв'язання залежить від значення k, яке треба підставити. Розглянемо кілька можливих варіантів:

1) k = 0: ^(x+6) - ^(x-2) = 0

Якщо різниця двох чисел дорівнює 0, то ці числа повинні бути рівними. Тому: ^(x+6) = ^(x-2)

Щоб обидві частини були рівними, значить їхні показники степеней мають бути рівними. Отже, отримуємо два рівняння:

x+6 = x-2

Розв'язуємо перше рівняння: 6 = -2

Це суперечність, тому рівняння не має розв'язку для k = 0.

2) k > 0: ^(x+6) - ^(x-2) = k

Якщо k > 0, то піднесення до степеня завжди буде додатком. Тому, щоб зрізніця двох чисел була рівною k, ці числа повинні бути різними за знаком.

Розглянемо k як позитивне число та розкладемо рівняння за допомогою магічної тригонометричної формули a^2 - b^2 = (a+b)(a-b):

(^x+6 + ^(x-2)) * (^x+6 - ^(x-2)) = k

На цьому етапі ми можемо помітити, що обидві частини рівняння мають показники степенів з однаковими знаками, тобто будуть позитивними числами.

Тепер, застосовуючи тригонометричну формулу, отримуємо:

(^x+6)^2 - (^(x-2))^2 = k

Квадрат першого числа мінус квадрат другого числа повинен бути рівним k:

[(^x+6) - (^(x-2))] * [(^x+6) + (^(x-2))] = k

Виділимо формулу різниці кубів a^3 - b^3:

[((^x+6) - (^(x-2)))] * [(^x+6)^2 + (^x+6)*(^(x-2)) + (^(x-2))^2] = k

Продовжуючи спрощувати вираз, отримуємо:

[((x+6) - (x-2))] * [(^(x+6))^2 + (^x+6)*(^(x-2)) + (^x-2)^2] = k

Отримане рівняння можна далі спростити та розв'язати для конкретного значення k. Однак, процес спрощення не є тривіальним та може бути досить складним.

У цьому відповіді я навів загальний підхід до розв'язання заданого рівняння, але без конкретних значень k не можливо дати більш конкретну та детальну відповідь.