Question

Используя правило Лопиталя найти следующие пределы:lim x→pi/2 (tg5x)/(tgx)

Answer 1

Ответ:

=5

Пошаговое объяснение:

$lim_{x - > \frac{\pi}{2}} \frac{tg5x}{tgx} = lim_{x - > \frac{\pi}{2}} \frac{ {(tg5x)}^{ | }}{ {(tgx)}^{ | }} = lim_{x - > \frac{\pi}{2}} \frac{ \frac{1}{ {cos}^{2}5x } \times {(5x)}^{ |} }{ \frac{1}{ {cos}^{2}x}} = lim_{x - > \frac{\pi}{2}} \frac{5 {cos}^{2}x }{ {cos}^{2}5x} = \frac{5 \times {cos}^{2} \frac{\pi}{2} }{ {cos}^{2}(5 \times \frac{\pi}{2} )} = \frac{5 \times 1}{1} = 5$

Answer 2

Для нахождения предела этой функции, используем правило Лопиталя, которое позволяет найти пределы отношения двух функций, если оба предела равны бесконечности или нулю.

Начнем с выражения предела функции, который мы хотим вычислить:

lim(x→π/2) (tg(5x) / tg(x))

Сначала подставим значение x=π/2 в выражение, чтобы увидеть, что оно принимает форму 0/0:

tg(5(π/2)) / tg(π/2)

tg(5π/2) / tg(π/2)

Теперь применим правило Лопиталя. Для этого найдем производные числителя и знаменателя и вычислим предел их отношения:

lim(x→π/2) (5sec^2(5x)) / sec^2(x)

Теперь подставим x=π/2 и получим:

(5sec^2(5(π/2))) / sec^2(π/2)

(5sec^2(5π/2)) / sec^2(π/2)

sec^2(5π/2) / sec^2(π/2)

sec^2(5π/2) = sec^2(π/2) = 1

Таким образом, предел функции равен 1.

Итак, lim(x→π/2) (tg(5x) / tg(x)) = 1.