Question

2. Записати періодичний дріб у вигляді звичайних дробів. 1) 0, (324) 2) 3,82 (97)​

Answer 1

1) 0,(324) = 324/999 = 12/37 - сократили на 27

2) 3,82(97) = 3 + 0,82(97) = 3 целых 1643/1980

Пусть х = 0,82(97), тогда

100х = 82,(97)

10000х = 8297,(97). Уравнение:

10000х - 100х = 8297,(97) - 82,(97)

9900х = 8215

х = 8215/9900

х = 1643/1980 - сократили на 5

Answer 2

Звісно, давайте розглянемо обидва періодичні дроби та перетворимо їх у вигляд звичайних дробів.

1) Дріб \(0,(324)\):

Цей дріб має періодичність у числі 324. Щоб перетворити його у звичайний дріб, обозначимо його як \(x\):

\[ x = 0,(324) \]

Множимо обидві сторони на 1000 (оскільки у нас три знаки після коми):

\[ 1000x = 324,(324) \]

Тепер віднімемо початковий дріб від отриманого:

\[ 1000x - x = 324,(324) - 0,(324) \]

\[ 999x = 324 \]

\[ x = \frac{324}{999} \]

Тепер можна спростити дріб, поділивши чисельник і знаменник на їхній найбільший спільний дільник (НСД), який у цьому випадку є 27:

\[ x = \frac{324}{999} = \frac{12}{37} \]

Отже, періодичний дріб \(0,(324)\) можна представити у вигляді звичайного дробу \( \frac{12}{37} \).

2) Дріб \(3,82(97)\):

Цей дріб має періодичність у числі 97. Обозначимо його як \(y\):

\[ y = 3,82(97) \]

Множимо обидві сторони на 100 (оскільки у нас два знаки після коми та два знаки періодичності):

\[ 100y = 382,(97) \]

Тепер віднімемо початковий дріб від отриманого:

\[ 100y - y = 382,(97) - 3,82(97) \]

\[ 99y = 378 \]

\[ y = \frac{378}{99} \]

Спростимо дріб, поділивши чисельник і знаменник на їхній НСД, який у цьому випадку є 9:

\[ y = \frac{378}{99} = \frac{42}{11} \]

Отже, періодичний дріб \(3,82(97)\) можна представити у вигляді звичайного дробу \( \frac{42}{11} \).